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在18世纪，科学家成功地解释了行星在太阳周围的运动，就像当时的英国人约瑟夫·赖特（Joseph Wright）在这幅画中所描绘的那样。但是学者们仍在努力思考这种运动的虚构特殊情况：粒子向重心的粒子的下落（也是粒子）。

现在，科学家*惯了“奇异性”，他们知道这些观点是其理论不再适用的地方。但是18世纪的学者尚未意识到这一点，在探索经典力学中非常简单的问题时，他们也遇到了奇异之处。为了解决该古典力学框架无法解决的问题，包括伟大的数学家欧拉（Euler）在内的学者提出了一些奇怪的方法，并得出了非常荒谬的结论。科学家花了一个世纪才意识到这种研究是徒劳的：从奇异性上讲，理论达到了极限。

|撰写雅克·盖帕拉德（Jacques Gapaillard）

翻译| Deng Yihang

在天体物理学中，黑洞是一个非常密集的时空区域，无论如何都可以逃脱，甚至光线也无法做到。这些特殊的天体代表了时空的奇异性，它们是数学重力理论无法描述的领域。奇异性存在于数学的许多领域，当我们研究曲线和表面，复杂的可变功能和微分方程时，我们经常遇到它们。今天，科学家知道，奇异性通常超出了其理论的范围。但过去并非如此。当科学家第一次遇到奇异之处时，他们甚至基于不整合的理论证明提供了一些奇怪的解决方案。在18世纪，著名的数学家让·勒·隆德·阿伦贝特（Jean Le Rond D'Alembert）和莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在研究一个简单的经典理论机制问题时遇到了奇异性，类似于一维空间中的点形黑洞。他们没想到这种奇点会带来多么困难。

棘手的问题

这个问题考虑了一个粒子落在另一个粒子的情况。在经典力学（也称为牛顿力学）中，为了方便起见，我们经常使用假想的粒子（即具有质量的几何点（无体积或形状））来考虑问题。根据牛顿的重力定律，将重力施加在固定位置O（即，在空间中心中心）处施加到另一个粒子P上，与R成反比。在r0的情况下，这是正确的。但是，当r变为0时，无法定义受颗粒P影响的重力。因此，对于点P，点O是单个点所在的位置。

在这里，重力中心O被视为一个抽象的纯几何点，在该点不存在任何物质实体。这种情况在现实世界中是不可能的。但这并不能阻止我们考虑数学问题：粒子p在O的重力（与R成反比）的作用下移动。

For particle motion under this condition, Newton has given a model in 《自然哲学的数学原理》: Assuming that at a given moment, the particle P moves outside point O, the velocity is not 0 and is not in the direction of the straight line OP, then point P will move along a parabola or hyperbolic line, or rotate around O in an elliptical orbit, just like those planets revolving around the sun, and the focus of these three conical curves is on O.但是真正困扰学者的是，当粒子p以粒子O外的初始速度释放时，它将直接落入点O。计算表明，点P将在有限的时间内到达点O，届时其速度将增加到无穷大。

此后什么？点P到达点O之后会发生什么？一方面，P似乎只能沿着该点O沿这条直线移动，因为此时它的移动非常快。还有什么比无限更快？另一方面，随着点p继续接近点O，它会受到点的重力。当点P到达点O时，重力将生长至无穷大。

古典力学领域的权威专家保罗·阿佩尔（Paul Abpell）通过自己的方法解决了这个问题。在他的《经典力学教程》（CoursdeMcaniqueratationnelle，1888年），后来又是著名的《经典力学》（TraitdeMcaniqueratationnelle，1893年）中，他给出了一个解释，说明粒子P到达中心是不可能到达的，因为这两个速度是在速度上不可能的距离，因为这两个速度在移动的距离上，这显然是在移动的距离，即在移动的距离上，距离距离距离距离，这是在移动的距离时，距离距离距离，这是在移动的距离时，距离距离距离，这是距离的距离，即在移动的距离时，距离距离距离，这是距离的距离：对象为0，它们将首先碰撞。”但是，这种解释根本没有回答上面提出的纯理论问题。我们都知道，在这个问题中，重心只是一个几何点。

达勒尔的回答

当时，法国最伟大的数学家达勒姆伯特（Dahlmbert）在他的《数学手册》中讨论了这个棘手的问题（OpusculesMathmatiques，1780年）第7卷：“很明显，很明显，（粒子P）将（粒子P）越过（粒子p）将越过（中心）和距离之间的距离，直到距离距离距离为距离之后，它的距离就开始了。连续。”也就是说，移动的物体P将在直线中的重力点O中来回振荡。实际上，当达勒伯格毫不犹豫地得出结论时，移动的物体将继续在重力中心沿直线移动。他只考虑动态，因为该物体在O点获得无限的速度，因此该运动肯定会继续。但是他没有考虑到O点，重力也会增加到无限。

让·莱兰·达·莱姆贝尔（Jean Lelan da Lembell）认为，当点A释放的粒子被重力中心O吸引并移动时，它将穿过点O并继续移动到对称点A'大约o上的a'，然后在点A和点A之间向后往返。

达兰伯格在1780年出版的书中给出了粒子振荡的答案，但在同一本书中，他还介绍了欧拉（Euler）提出的另一个答案。欧拉（Euler）是18世纪最著名的瑞士数学家，得出的结论是，达尔伯特本人并没有期待，但并没有说服。后者在书中写道：“在《力学》（Mcanique）的书中，一个很棒的地理位分比度是直接降落（加速中心点O）时，当中心的力与距离正相反。

毫无疑问，当时与欧拉（Euler）疏远的达拉尔（Dahlrl）很乐意否认欧拉（Euler）的结果，他称这一结论荒谬。欧拉如何得出这个结论确实很好奇，因为它违反直觉，无法认为当物体在无限的速度时会突然转动。这一结论没有考虑到两个无数次数的争议，无论是粒子p在点O处落下的方向，还是在这一点上受到的重力。

欧拉的奇怪结论

在牛顿方法的帮助下，欧拉（Euler）在第一个《力学》（Mechanica，1736）中探索了这个问题，用拉丁语编写。首先，他假设在最初的时刻，粒子p位于点A，并且具有垂直于OA方向的初始速度VA，因此其移动轨迹将是具有主要轴AA'的椭圆形，O是焦点之一。之后，Euler假设垂直于OA的速度VA继续降低直至零。这样，椭圆将继续变平，并且点A'将继续接近点O。当VA减小到零时，椭圆将与线段OA一致。

Leonhard Euler提出了一个与Dahlnber不同的结论：他首先想象该粒子具有垂直于OA而不是0的速度VA，因此其运动轨迹将是具有焦点O和主要轴AA'的椭圆形。然后，他降低了速度VA直至变为0，以便椭圆将继续变平，目前，A点A将继续接近点O。当椭圆平坦至极限时，椭圆轨道上的运动将在点A和点O之间来回移动，这是完全不同的。

通过将轨道的几何形状和点P的运动速度推到极限，欧拉得出了这个奇怪的结论。当然，他的限制方法没有依据。就像达兰伯特（Dahlnbert）一样，欧拉（Euler）也设定了o是一个抽象的几何点，没有任何真实的对象，如果有一个对象，它至少可以证明p在某种程度上反弹。此外，这种解释显然使重力中心具有反击力，牛顿力学的一些反对者指责椭圆运动中存在这种悖论。他们不明白为什么每个星球都将一半的时间远离吸引它的太阳。

拉普拉斯：模棱两可的和解

当时最杰出的理论学者，例如欧拉（Euler）和达兰伯格（Dahlnberg），就这样一个看似普通的力学问题得出了相反的结论。显然，这个问题并不简单。但是毫无疑问，他们的大三学生很快就会试图结束这场科学辩论。 1799年，世纪之交的重要数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在他的书《天体物理》（TraitdeMcaniqueCleste）中阐述了他的观点。

拉普拉斯首先审查了不断平坦的椭圆形和通过限制来计算物体落入重心的运动定律的方法。接下来，他强调：“朝重点（SIC）的椭圆形运动基本上不同于压缩到极限的椭圆轨道上的运动。在前一种情况下，物体将跨越焦点，然后飞向与起始位置相同的距离；在后一种情况下，物体通过焦点和返回的开始点（如果对象）的范围（如果对象），则该物体的范围很小。 IS，这将导致这种差异，但这种差异不会影响对象达到焦点的时间。”

无论是原始文本还是在将错别字的“椭圆运动”纠正为“线性运动”之后，这段段落似乎很模糊。通过声称达拉恩（前案）和欧拉（后一个案件）都是正确的，拉普拉斯似乎已经完成了一项壮举，并和解了不可调和的矛盾。实际上，尽管他不反对达勒尔的结论，但他还是使用了欧拉的证明方法。他介绍了一个有趣的无限平坦椭圆形的概念，这意味着这是我们可以想象的最平坦的椭圆，但尚未完全扁平，并且还没有成为欧拉所说的线段。拉普拉斯（Laplace）在他的言论中始终保持模棱两可，说“对象达到了焦点”，但严格来说，该对象不会通过焦点，因为它的轨迹是椭圆形。最后，尽管这种惊人的言论具有明显的错别字，但人们认为他与达洛伯特的观点一致，他的结论很长一段时间一直是主流的。

在《数学史》（HistoiredesMathmatiques，1758）的第二卷中，让- tienneMontucla还研究了粒子P向中心点O的线性运动的问题。他提到了牛顿，但没有提到Euler。他还认为，这一运动是在极端情况下的椭圆运动，并得出结论：“该物体不会穿越（重心）。”但是他补充说：“我们也可以确保它不会回头。因为没有任何因素可以使其反向移动。” Monticra明确反对Euler的结论，但他长期以来表示反对Dahlre的结论，因为在他的看来，到达o点的粒子P会停在那里。

这种意外的观点比Euler更令人不安，因为它意味着在瞬间消除理论上无限的速度。实际上，Monticra发现，假设位于O点O的点P在力f的作用下不断接近点O，该力与R 2成反比，那么当R接近0时，其速度V将比该力f缓慢生长。因为，这种速度仅与r成反比。参数的最后一步是错误的，因为速度V实际上与r成反比。但是，这种纠正并不影响蒙蒂拉（Monticra）的结论，也就是说，重力占据了点O点的竞争。但是，他的结论在接下来的一个世纪再次提出，基于以下事实：点O之后的点的速度成为一个虚构的数字，但是该论点也被用来支持Euler的结论，其结果是这种虚构的速度是错误的，因为计算是错误的。

点形黑洞

这些理论讨论始终不关心，因为在重力作用下的线性运动在天文学上没有实际的应用价值，因此力学研究人员并没有认真对待它，更不用说物体的纯粹理论问题落在重力中心了。因此，最近对这个问题的最终答案得到了揭示，直到1930年，保罗·潘勒维（PaulPainlev）才在《巴黎综合理工大学力学教程》卷中解释（CoursdeMcanique教授教授l'colePolytechnique）。

关于以无限速度到达重心的移动粒子，他指出，在此刻，“无法讨论问题”。他没有像蒙蒂克拉（Montikra）那样尝试数学上的尝试，后者可以证明粒子会停在重心，尽管后者似乎在所有人面前找到了正确的答案。粒子是机械理论的一部分，粒子停止了自己，而Panlewe宣称，在移动点到达重心之后，经典力学是无能为力的。对于这个问题，该点必须停在重心，所有有关后续运动的猜测都没有科学价值。

欧拉（Euler）和达勒尔（Dahlre）并没有预见到这样的结果，但是应该指出的是，即使在牛顿式机制的潘勒维（Panlevey）时代，牛顿力学（牛顿式机械师）占据了两个世纪的挑战，但在20世纪初期的相对论中，人们仍然很难相信，人们仍然很难相信牛顿机制在移动颗粒物中的局势范围内预测这种情况时也是无能为力的。

经典力学无法预测重心将发生什么的确切原因是，它不允许粒子的轨迹穿过无法定义速度或力的点（例如无穷大）。由于此点的数据存在问题，因此它不能用作确定粒子后确定运动轨迹的初始条件。经典力学的有效性没有问题。保罗·阿佩尔（Paul Appel）对上面提到的这个问题的解释实际上是说这个长期存在的“棘手问题”几乎没有困扰力学，因为它已经超出了机械师的实际应用范围。在理性的力学中，自由掉落的粒子的运动将不可避免地停在这种奇点上，就像一个点形黑洞一样，最终将“吸收”粒子。

如此纯粹的数学黑洞似乎与现代天体物理学重点关注的黑洞相去甚远。在牛顿力学系统下，有些人预测了后者在18世纪的存在，其中最著名的是拉普拉斯在《宇宙系统论》卷第2卷中的预测（博览会，1796年）。天体物理学中的黑洞通常很大，例如转换为恒星的黑洞。它们甚至可能是巨大的，例如星系中心存在的那些超大型黑洞。但是天体物理学还考虑了近点黑洞的可能性，例如在宇宙诞生时可能出现的原始微型黑洞并具有量子特征。

实际上，问题的关键在于如何理解这些奇异性。粒子以无限的速度到达重心，在数学末端引导。 18世纪的学者没有意识到，他们预测粒子试图重生粒子后的运动。现在，无论他们遇到巨大还是点形黑洞，科学家都知道他们的理论已经达到了极限。如果有人想知道黑洞内发生了什么，或者探索宇宙的诞生，他必须需要新理论。

本文的作者：雅克·帕帕亚尔（Jacques Gapayal）是法国南特大学（University of France）的荣誉教授，讲授数学和天文学的历史。