更新时间：作者：佚名
大家好，今天小编来为大家解答2013年高考数学题，导数综合题，状元说是免费试题这个问题，很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
我们先看第一个问题：求切线l的方程。
要求曲线在某一点的切线方程，通常需要用到导数的几何意义。即曲线在某一点的导数值就是该点切线的斜率。
利用导数求正切方程的一般步骤：第一步是求该点的坐标。如果您已经知道该点的坐标，则无需再查找它。例如，在这道题中，你不需要找到点的坐标；第二步求曲线方程的导数；第三步，求该点的导数值；第四步，利用直线的点斜率方程得到正切方程。
我们看第二个问题：证明命题。
要证明除切点外，曲线C都在直线l下方，那么只需证明当x>0且x1时，x-1>(lnx)/x即可。下面介绍两种证明方法。
证明1：
不等式右边是分数的形式，分数的处理比较复杂。由于函数y的定义域为x>0，将不等式两边同时乘以这样处理后，我们只需证明函数y=x(x-1)-lnx在(0,1)和(1,+)上的最小值都大于零。
构造新函数f(x)=x(x-1)-lnx，0x1，x1，并推导f'(x)=2x-1-1/x=(2x^2-x-1)/x=(2x+1)(x-1)/x。
显然，在f(x)的定义域内，2x+1>0，即f'(x)的符号由x-1项决定。因此，当00时，f(x)是增函数。因此，f(x)>f(1)=0，即x(x-1)-lnx>0总是成立，所以原命题得证。
证明方法二：
很多同学表示，在证明不等式时，并没有想到将分数转化为整数。可以直接证明吗？当然。
构造一个新函数f(x)=x-1-(lnx)/x，x>0，然后推导f'(x)=1-(1-lnx)/x^2=(x^2-1+lnx)/x^2。接下来，确定f'(x) 是正数还是负数。由于x^2>0，f'(x) 的符号由分子x^2-1+lnx 确定。当x>0时，x^2-1是增函数，lnx也是增函数，所以g(x)=x^2-1+lnx是增函数。并且g(1)=0，所以当00时，f(x)是增函数，f(x)>f(1)=0。至此原命题得证。