更新时间：作者：留学世界
2021泉州中考即将到来，数学作为考试中的一项重要科目，对于很多学生来说是一个挑战。其中，几何问题更是让不少考生头疼。但是别担心，今天我们将带您探索一个必备技巧——利用切线求解几何问题。什么是切线？如何利用它来解决几何问题？本文将为您一一揭秘。除此之外，我们还会分享一些实用的技巧和经典例题分析，帮助您在数学竞赛中脱颖而出。最后，我们还会总结出在考试中快速运用切线求解几何问题的实战技巧。让我们一起来探索这个神奇的数学技巧吧！
1. 切线的定义
切线是指与曲线相切且仅有一个公共点的直线。在几何中，通常我们将切线与圆相联系，即切线是与圆相切的直线。
2. 切线的性质
（1）切点：切点是指切线与曲线相交的唯一点，也是切线与圆相交的唯一点。
（2）垂直关系：切线和半径垂直。这是因为在圆上任意两点的连线都与半径垂直，而切线恰好经过圆上一点和该点所对应的半径。
（3）长度关系：从同一个外部点引出两条割线，它们所夹角度最大时，其长度也最大；反之，夹角越小，则长度也越小。
（4）角度关系：外接角等于其对应弧所对应的角。如图所示：
[插入图片]
∠AOB = ∠ACB
3. 利用切线求解几何问题
（1）求解圆内接四边形问题：若四边形ABCD内接于一圆，则AC、BD两条对角线必定相互垂直，且每条对角线都恰好平分另一条对角线。利用这个性质，我们可以通过求解两条对角线的交点来确定四边形的内接圆心。
（2）求解圆外接四边形问题：若四边形ABCD外接于一圆，则AC、BD两条对角线必定相互垂直，且每条对角线都恰好平分另一条对角线。同样利用这个性质，我们可以通过求解两条对角线的交点来确定四边形的外接圆心。
（3）求解切线长问题：当我们需要求解切线长时，可以利用切线与半径垂直的性质，通过勾股定理来计算切线长。
4. 切线在实际生活中的应用
（1）汽车转弯：在汽车转弯时，轮胎与地面接触处就是一个切点，而车轮所处的方向就是切线方向。这也是为什么在转弯时需要调整方向盘的原因。
（2）光学：光学中的反射定律也与切线有关。当光束入射到平面镜上时，在反射点处与镜面相切。
（3）建筑设计：在建筑设计中，为了保证建筑物稳固，常常会利用切线原理来设计支撑结构。
切线是与曲线相切且仅有一个公共点的直线，具有垂直关系、长度关系和角度关系等性质。在解决几何问题时，可以利用切线的性质来求解内接四边形、外接四边形以及切线长等问题。同时，在实际生活中，切线也有着广泛的应用，如汽车转弯、光学和建筑设计等领域。因此，掌握切线的概念及其性质对于我们的学*和生活都具有重要意义
在中考数学考试中，几何题目是很多同学的心头大患。其中，求解几何问题的难点之一就是利用切线。那么，如何利用切线来解决几何问题呢？下面就让我们来看看这个基本步骤吧！
1. 确定切线的位置
首先，我们需要明确切线的位置。在几何图形中，切线通常与圆相交于一个点，并且与圆的半径垂直。因此，我们需要找出这个相交点和垂直关系。
2. 利用性质
接下来，我们可以利用切线的性质来解决问题。根据性质可知，切线与半径垂直，因此可以得出两条相似三角形，并且这两条三角形有一个共同的角。通过求解这个共同角，我们就可以得到所需的答案。
3. 使用定理
除了性质外，我们还可以使用相关定理来帮助求解。例如，在圆内接四边形中，对角线互补定理和圆周角定理都可以被运用到求解过程中。
4. 考虑特殊情况
有时候，在利用切线求解几何问题时会遇到特殊情况，例如切线与圆相切于圆心。这种情况下，我们可以利用同弦定理来求解。
5. 综合运用
1. 利用切线求解三角形面积
在解决三角形面积问题时，我们经常会遇到需要求解某一条边的长度的情况。这时，利用切线可以帮助我们快速求解。例如，在一个直角三角形中，已知斜边长为10cm，顶点A与斜边的交点为P，且AP=6cm。现需要求解三角形的面积。
首先，根据正弦定理可知：sin∠APB = 6/10 = 0.6。而∠APB为直角，因此可以推出cos∠APB = √(1-0.6²) ≈ 0.8。
接着，利用切线定理可得：PA² = PB·PC。将已知条件带入得：36 = PB·(PB+10)，化简后可得PB≈5.29cm。
最后，根据三角形面积公式S=1/2·底×高可得：S=1/2·5.29×6≈15.87cm²。因此，这个直角三角形的面积约为15.87平方厘米。
2. 利用切线求解圆周长和面积
在圆相关问题中，经常会遇到需要求解圆周长和面积的情况。而利用切线定理可以帮助我们快速求解。例如，在一个半径为8cm的圆中，已知一条切线长为10cm，求解圆的周长和面积。
根据切线定理可知：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。因此，可得方程式：100 = (10+8)·(10-8)，化简后可得：x=6。
接着，根据周长公式C=2πr可得：C=2π·8≈50.27cm。同时，根据面积公式S=πr²可得：S=π·8²≈201.06cm²。因此，这个圆的周长约为50.27厘米，面积约为201.06平方厘米。
3. 利用切线求解多边形内角和
在多边形相关问题中，经常会遇到需要求解内角和的情况。而利用切线可以帮助我们快速求解。例如，在一个正六边形中，已知一条对角线长度为6cm，求解多边形内角和。
首先，根据正六边形性质可知：每个内角都是120°。接着，根据切线定理可得：对角线长的平方等于切点到多边形顶点的距离与多边形边长的乘积。因此，可得方程式：36 = (6+6)·(6-6cos120°)，化简后可得：cos120°=-1/2。
最后，根据正弦定理可得：sin∠AOB = 6/12 = 1/2。而∠AOB为直角，因此可以推出cos∠AOB = √(1-1/2²) ≈ √3/2。再根据余弦定理可得：c² = a² + b² - 2ab·cosC，带入已知条件可得c≈8.66cm
1. 了解切线的定义和性质
在解决数学竞赛中的几何问题时，我们经常会遇到需要利用切线的知识来求解。因此，首先要对切线有一个清晰的认识。切线是指与圆或曲线恰好只有一个交点的直线。它具有以下重要性质：①与圆或曲线相切的直线垂直于半径；②相切点处的切线与圆或曲线相切；③两条相交弦所夹角等于两条相交弧所夹角。
2. 利用切线求解几何问题的基本步骤
（1）确定题目中所给图形中存在着哪些圆或曲线；
（2）找出与这些圆或曲线相切的直线；
（3）根据相应性质，得出所需求解量。
3. 利用切线解决数学竞赛中常见难题
（1）利用外接圆和内接圆
在数学竞赛中，我们经常会遇到需要求证某个三角形为等腰三角形、全等三角形或直角三角形等问题。而利用外接圆和内接圆可以很方便地解决这类问题。如下图所示，若已知三角形ABC的外接圆O与BC边相切于点D，那么根据切线性质可得出∠BAC=∠BCD，从而证明三角形ABC为等腰三角形。
（2）利用切线分割定比
在数学竞赛中，我们也会遇到需要求解线段的长度比问题。而利用切线可以很方便地将线段分割成所需比例。如下图所示，若已知CD:DE=3:2，且点A为直线CE上一点，则通过作CA和DA的切线可将线段CE分割成3份和2份，从而得出AB:BC=3:2。
（3）利用切线求解圆内接四边形问题
在数学竞赛中，我们经常会遇到需要求解圆内接四边形的面积、周长等问题。而利用切线可以有效地简化计算过程。如下图所示，若已知四边形ABCD为内接四边形，且AB与CD相交于点E，则通过作AE和BE的切线可将四边形ABCD分割成两个全等三角形和一个矩形，从而得出其面积或周长。
4. 注意事项
在利用切线求解数学竞赛中的难题时，要注意以下几点：
（1）要仔细观察题目中所给图形，判断是否存在与圆或曲线相切的直线；
（2）要熟练掌握切线的性质，以便快速应用；
（3）要注意选择合适的辅助线，以简化计算过程。
5. 练*题
（1）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，且AD和BC相交于点E。若∠DAB=60°，求证：∠EAC=30°。
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，且AD和BC相交于点E。若BD:DC=3:4，求证：AE:EC=3:2
1. 熟练掌握切线的概念
在解决几何问题时，首先要明确切线的概念和性质。切线是指与圆相切且只有一个交点的直线，它与圆的半径垂直。在考试中，如果能够准确地确定出切线，就可以利用其性质来求解几何问题。
2. 注意题目中的关键词
在阅读题目时，要注意题目中的关键词，特别是与切线相关的词语。比如“外切”、“内切”、“相切”等词语都与切线有关。如果能够准确地把握这些关键词，就能更快地确定出切线。
3. 利用对称性简化计算
在某些情况下，题目中给出的图形具有对称性，此时可以利用对称性来简化计算过程。比如，在一个圆内部画一条直径，并通过该直径作一条平行于该直径的直线，则这条直线即为所求的切线。
4. 利用相似三角形求解
当题目中给出的图形不具备对称性时，可以利用相似三角形来求解。通过画出辅助线，构造相似三角形，并利用相似三角形的性质来求解切线。
5. 注意角度关系
在解决几何问题时，要注意角度之间的关系。切线与圆的半径垂直，因此可以利用垂直角、余弦定理等知识来求解角度，从而确定出切线。
6. 多练*，多
相信大家已经对切线及其性质有了更深入的了解，并学会了如何利用切线解决几何问题。切线作为数学中重要的概念，在数学竞赛中也经常出现，希望大家能够灵活运用所学知识，取得优异成绩。如果您喜欢本文的内容，请关注我，我将为您带来更多有趣、实用的数学技巧。最后，祝愿所有参加2021泉州中考的同学都能取得理想的成绩！我是网站编辑，感谢您的阅读。