更新时间：作者：小小条
1. 掌握数学建模 “四步闭环”（情境分析→模型构建→求解运算→验证回归）的核心方法
2. 巩固函数、数列、不等式、几何等常见建模类型的应用场景
1. 能从真实情境中筛选关键信息，转化为数学问题
2. 能选择合适的数学模型（如函数、数列、线性规划）解决实际问题
3. 能验证模型解的合理性，实现 “数学解→实际解” 的转化
1. 快速破解建模类基础题（单选、填空）
2. 突破 “情境 + 模型 + 运算” 综合题（多选、解答）
3. 应对 2026 高考中 “跨学科情境（如生态、科技、经济）” 的建模创新题
1. 数学建模 “四步闭环” 的操作步骤与模型选择技巧
2. 真实情境中关键信息的筛选与数学转化
1. 复杂情境的简化与抽象（避免信息过载或遗漏）
2. 模型解的合理性验证（结合实际约束条件）
3. 跨学科情境中数学工具的精准调用
1. 真题感知：展示 2024 新高考 I 卷解答题第 19 题（生态保护区种群数量增长模型），已知某生态种群的数量N(t)（单位：只）随时间t（单位：年）的变化规律符合逻辑斯蒂增长模型，其中K为环境承载量，
为初始种群数量，r为增长率参数。该种群初始数量为100只，环境承载量为1000只，且当t = 2时，种群数量为200只。
◦ （1）求r的值；
◦ （2）求该种群数量增长最快时的时间t。
补充提问：“若在种群增长模型中加入‘年增长速率不超过环境承载量的 15%’的约束，如何转化为不等式条件？”
2. 核心结论：2026 高考中数学建模占比达 25%+，核心考查 “从实际问题到数学模型，再回归实际问题” 的闭环能力
3. 引出主题：本节课通过 “建模流程拆解 — 模型类型归纳 — *题精练”，掌握数学建模的解题逻辑
建模步骤 | 操作要点 | 高考应用场景 | 示例（购物满减问题） |
第一步：情境分析 | ①筛选关键信息（数量关系、约束条件、目标） ②忽略非本质细节（如商品类型、店铺名称） ③明确变量（自变量、因变量、常量） | 所有实际应用题 | 关键信息：满 300 减 50，购物金额x，实际支付y；约束条件：；目标：求y与x的关系 |
第二步：模型构建 | ①选择合适模型（函数 / 数列 / 不等式 / 几何） ②用符号语言表达关系 ③标注变量定义域（实际约束） | 函数建模（如计费、增长）、数列建模（如复利、迭代）、线性规划（如资源分配） | 选择分段函数模型： |
第三步：求解运算 | ①运用数学方法求解（代数运算、导数、方程等） ②确保运算准确性 | 求最值、范围、特定值 | 若x=700，则y=700-50×2=600；求y的最小值（本质是x为 300 的倍数时最划算） |
第四步：验证回归 | ①检验解的合理性（是否符合实际情境） ②修正模型（若解与实际矛盾） ③用实际语言表述结论 | 应用题的 “结论回答” 环节 | 验证：x=300时y=250，符合满减规则；结论：购物金额为 300 的整数倍时，实际支付性价比最高 |
建模类型 | 情境特征 | 常用模型 | 高考真题示例 | |
函数建模 | 两个变量间的确定关系（如计费、增长、最值） | 一次函数、分段函数、二次函数、指数 / 对数函数 | 2024 全国卷：充电费用与时间的关系 | |
数列建模 | 离散型变化（如复利计息、种群迭代、分期付款） | 等差数列、等比数列、递推数列 | 2023 新高考 II 卷：银行存款复利问题 | |
不等式建模 | 资源约束下的优化（如用料最省、利润最高、费用最低） | 基本不等式、不等式组（含二次 / 分式不等式） | 2023 新高考 I 卷：饮水设备购置费用优化 | |
几何建模 | 空间 / 平面图形的实际问题（如建筑设计、路线最短） | 解析几何、立体几何、三角函数 | 2024 浙江卷：帆船比赛路线优化 |
• 情境分析：不遗漏约束条件（如 “正整数”“长度上限”“时间范围”）
• 模型构建：不盲目选择复杂模型（优先用简单模型如一次函数、分段函数）
• 求解运算：不忽略定义域（数学解需满足实际变量的取值范围）
• 验证回归：不直接写数学解，需转化为实际语言（如 “种植 12 亩时利润最大” 而非 “x=12时L最大”）
1. （函数建模）某快递公司规定：同城快递首重 1kg 以内（含 1kg）收费 10 元，超过 1kg 的部分每 0.5kg 收费 3 元（不足 0.5kg 按 0.5kg 计），则寄件重量x（kg，x>0）与快递费y（元）的函数模型为（ ）
A. y=10+3×2(x-1) B. C. D. y=10+6(x-1)
2. （数列建模）某企业 2025 年的年产值为 1000 万元，计划每年比上一年增长 8%，则该企业 2030 年的年产值（单位：万元）为（ ）
3. （不等式建模）某农户计划种植黄瓜和番茄，总面积不超过 10 亩，投入资金不超过 13 万元。种植黄瓜每亩需资金 1.2 万元，产值 2 万元；种植番茄每亩需资金 1.5 万元，产值 2.5 万元。设种植黄瓜x亩，番茄y亩，则该农户的最大产值为（ ）
A. 18 万元 B. 18.5 万元 C. 19 万元 D. 19.5 万元
4. （几何建模）为测量某山的高度，在山脚下 A 点测得山顶 B 点的仰角为 30°，沿坡度为 15° 的斜坡向上走 1000 米到达 C 点，测得山顶 B 点的仰角为 60°，则山的高度为（ ）
A. 500 米 米 D. 1000 米
1. （函数建模 + 验证）某商场推出 “预交定金” 活动：购买某商品可预交 50 元定金，定金可抵 100 元，若不购买则定金不退。设商品原价为x元（x>100），购买该商品的实际花费为y元，则下列说法正确的有（ ）
A. 实际花费模型为y=x-50（x>100） B. 若商品原价 200 元，实际花费 150 元
C. 若实际花费 180 元，则商品原价 230 元 D. 当商品原价低于 100 元时，模型不适用
2. （数列 + 不等式建模）某银行推出 “零存整取” 业务：每月月初存入固定金额a元，月利率为r（复利计息，即每月利息计入下月本金），连续存入 12 个月后一次性取出，则下列说法正确的有（ ）
A. 第 1 个月存入的资金到期本息和为 B. 第 12 个月存入的资金到期本息和为a(1+r)
C. 到期后总本息和为 D. 若a=1000，r=0.5\%，总本息和超过 12330 元
1. （函数建模）某新能源汽车的续航里程y（km）与车速x（km/h）的关系为，则车速为______km/h 时，续航里程最长，最长续航里程为______km。
2. （几何建模）某工厂要制作一个无盖的长方体容器，底面是边长为x的正方形，高为h，容积为，则该容器的表面积S（）与x的函数关系式为______（标注x的取值范围）。
1. （基础解答题：函数建模 + 最值，12 分）
为响应 “绿色出行”，某城市推出共享电动车租赁服务，收费标准如下：
◦ 骑行时间t（分钟）不超过 30 分钟，收费 5 元；
◦ 超过 30 分钟的部分，每分钟收费 0.15 元（不足 1 分钟按 1 分钟计）；
◦ 骑行时间最长不超过 120 分钟（超时自动锁车）。
（1）建立骑行费用y（元）与骑行时间t（分钟）的函数关系式；
（2）若用户骑行 1 小时 20 分钟，需支付多少费用？
（3）若用户支付费用 14 元，求其骑行时间的取值范围。
1. （压轴解答题：数列 + 不等式建模，12 分）
某公司计划研发一款新产品，前期研发投入 50 万元，后期生产每件产品的成本为 40 元，售价为 60 元。设生产并销售x件产品（）。
（1）求利润L（万元）与销售量x（件）的函数关系式；
（2）若公司要求净利润不低于 30 万元，求销售量x的最小值；
（3）为扩大市场，公司决定每销售 1 件产品捐赠 1 元给公益事业，同时引入 “批量销售优惠”：销售量超过 1 万件时，超过部分每件售价降低 0.01 元（最低售价 50 元）。调整后，求公司可获得的最大净利润（净利润 = 销售收入 - 成本 - 捐赠额）。
• 核心逻辑：数学建模 =“情境拆解→模型匹配→求解运算→回归实际”
• 提分技巧：
a. 遇到情境题，先圈出 “变量、关系词、约束条件、目标”
b. 模型选择 “从简到繁”，优先用分段函数、一次 / 二次函数等基础模型
c. 解答题必写 “验证步骤”，确保数学解符合实际情境
• 高考预测：2025 年将增加 “科技情境（如 AI 训练成本、新能源调度）”“生态情境（如碳减排目标）” 的建模题，强调模型的现实意义
• 基础作业：完成*题解析与订正，标注每道题的 “建模四步”
• 拓展作业：从生活中选取一个场景（如校园饮水收费、共享单车调度），完成 “情境描述→建模四步→实际结论”
• 预*作业：复* “数学建模与数据分析的融合应用” 专题
1. C 2. B 3. B4. A
1. BCD 2.ACD
1.60；560 2.
答案与解析：
（1）构建分段函数模型（情境分析→模型构建）：
•
•，超过 30 分钟的部分为(t-30)分钟，费用为5+0.15(t-30)；
•综上：
（2）骑行 1 小时 20 分钟 = 80 分钟（），代入得（元）（求解运算）；
（3）支付费用 14 元，对应第二段函数：
，
因不足 1 分钟按 1 分钟计，且，故骑行时间取值范围为[90,91)（分钟，）（验证回归：符合收费规则）；
评分标准：模型构建 4 分（分段区间 + 表达式），计算 3 分，取值范围 3 分，步骤规范 2 分；
避坑点：忽略 “不足 1 分钟按 1 分钟计” 易误求t=90的单点值，忘记骑行时长上限 120 分钟（数学建模 + 运算素养）。
（2）压轴解答题（数列 + 不等式建模，12 分）
答案与解析：
（1）利润函数推导（单位统一：元→万元）：
•销售收入：60x元=0.006x万元；
•成本：前期投入 50 万元+40x元=50+0.004x万元；
•利润L=销售收入-成本=0.006x-(50+0.004x)=0.002x-50（）（模型构建）；
（2）净利润不低于 30 万元（不等式建模）：
，
故销售量x的最小值为 40000（件）（求解运算 + 验证回归：符合实际销量约束）；
（3）调整后模型（情境补充→模型修正）：
•捐赠额：x元=0.0001x万元；
•售价调整：设销售量为x件，
◦当时，售价 60 元，销售收入0.006x万元；
◦当x>10000（）时，超过部分每件售价60-0.01(x-10000)，且最低售价 50 元，即，
销售收入
•净利润L'=销售收入-成本-捐赠额：
◦当时，L'=0.006x-(50+0.004x)-0.0001x=0.0019x-50，单调递增，最大值为x=10000时，（万元，亏损）；
◦当时，
二次函数开口向下，对称轴=14500（），
◦当x>20000时，售价 50 元，销售收入0.005x万元，净利润L'=0.005x-(50+0.004x)-0.0001x=0.0009x-50，单调递增，但x=20000时（万元），低于 40.25 万元；
•综上，调整后最大净利润为 40.25 万元（验证回归：符合实际经营约束）；
评分标准：利润函数 3 分，最小值 2 分，调整后模型 4 分，最大净利润 3 分；
避坑点：单位换算错误（元与万元混淆）、忽略最低售价约束导致定义域扩大、忘记扣除捐赠额（数学建模 + 运算 + 逻辑推理素养）。
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