模型一：含参单调性讨论

真题1 (2022年全国甲卷理科第21题第(1)问)

已知函数$f(x) = \frac{e^x}{x} - \ln x + x - a$。讨论 $f(x)$ 的单调性。

步骤分拆解：

① 正确求导：$f'(x)= \frac{e^x(x-1)}{x^2} - \frac{1}{x} + 1 = ... = \frac{(x-1)(e^x + x)}{x^2}$。（2分）

② 指出定义域$(0, +\infty)$，故 $x^2>0$, $e^x+x>0$。（1分）

③ 所以$f'(x)$ 的符号由 $(x-1)$ 决定。当 $x \in (0,1)$ 时，$f'(x)<0$；当 $x \in (1,+\infty)$ 时，$f'(x)>0$。（2分）

④ 结论：$f(x)$在 $(0,1)$ 单调递减，在 $(1,+\infty)$ 单调递增。（1分）

模型二：隐零点代换

真题2 (2016年全国Ⅰ卷文科第21题第(2)问改编)

已知函数$f(x) = (x-2)e^x + a(x-1)^2$ 有两个零点，证明：$a > 0$。

思路指引：

① 由$f(1) = -e < 0$，若 $a \le 0$，则 $f(x) \le (x-2)e^x$，后者单调递增，至多一个零点，矛盾。（必要性探路）

② 因此转向证明$a>0$ 时确实有两个零点。此问关键步骤在于求导后，$f'(x)=0$ 的根为隐零点，需设 $x₀$ 满足 $(x₀ -1)e^{x₀} + 2a(x₀ -1)=0$，得到 $e^{x₀} = -2a$（$x₀ \ne 1$），从而将 $f(x₀)$ 用 $a$ 表示，再结合零点存在定理证明。

模型三：恒成立与存在性

真题3 (2020年全国Ⅲ卷理科第21题第(1)问)

已知函数$f(x) = x^3 - kx + k^2$。讨论 $f(x)$ 的单调性；若 $f(x)$ 有三个零点，求 $k$ 的取值范围。

步骤分拆解（第二问）：

① 转化：有三个零点→ 极大值大于0且极小值小于0。

② 由第一问单调性知，$f(x)$在 $x=-\sqrt{k/3}$ 处取极大值，在 $x=\sqrt{k/3}$ 处取极小值（$k>0$）。

③ 计算：$f(-\sqrt{k/3})> 0$ 且 $f(\sqrt{k/3}) < 0$。（关键计算分，3分）

④ 解出不等式组，得到$k$ 范围。（1分）

模型四：极值点偏移

真题4 (2016年全国Ⅰ卷理科第21题第(2)问)

已知函数$f(x) = (x-2)e^x + a(x-1)^2$ 有两个零点 $x_1, x_2$，证明：$x_1 + x_2 < 2$。

核心步骤指引：

① 求导得$f'(x) = (x-1)(e^x + 2a)$，极值点为 $x=1$。

② 构造对称函数$F(x) = f(1+x) - f(1-x)$。

③ 证明$F(x) > 0$ 对 $x>0$ 恒成立（需求导）。

④ 由$f(x_1)=f(x_2)$，不妨设 $x_1 < 1 < x_2$，则 $F(x_2 - 1) = f(x_2) - f(2 - x_2) = f(x_1) - f(2 - x_2)$。

⑤ 若$x_1 + x_2 \ge 2$，则 $x_1 \le 2 - x_2$，结合单调性可推出矛盾，故 $x_1 + x_2 < 2$。

模型五：零点个数判断

真题5 (2019年全国Ⅰ卷理科第20题第(1)问)

已知函数$f(x) = \sin x - \ln(1+x)$，$f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导数。求证：$f'(x)$ 在区间 $(-1, \frac{\pi}{2})$ 存在唯一极大值点。

思路指引：

① 先求$f'(x) = \cos x - \frac{1}{1+x}$，再求 $f''(x) = -\sin x + \frac{1}{(1+x)^2}$。

② 核心是判断$f''(x)$ 的零点个数。在 $(-1, \frac{\pi}{2})$ 上，$-\sin x$ 从正到负递减，$\frac{1}{(1+x)^2}$ 递减且为正，通过取点证明 $f''(x)$ 先正后负，存在唯一零点。

③ 由此说明$f'(x)$ 先增后减，存在唯一极大值点。

模型六：不等式证明

真题6 (2018年全国Ⅰ卷理科第21题第(2)问)

已知函数$f(x) = \frac{1}{x} - x + a\ln x$。若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_1, x_2$，证明：$\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < a-2$。

核心步骤指引：

① 由$f'(x)=0$ 可得 $a = x_1 + x_2 - \frac{1}{x_1x_2}$ 等关系。

② 将待证不等式左侧化简，利用$f(x_1)-f(x_2)=\ln x_1 - \ln x_2 - (x_1 - x_2) + a(\ln x_1 - \ln x_2)$ 等。

③ 核心技巧是消元（利用$a$ 与 $x_1, x_2$ 的关系）和齐次化，最终转化为证明关于 $\frac{x_1}{x_2}$ 的单变量不等式，可通过换元 $t=\frac{x_1}{x_2}>1$ 构造函数证明。

如何使用这份资料：

1. 自查：

对照【易错点清单】，在平时练*中刻意检查。

2. 精练：

从【真题库】中选择你的薄弱模型，限时15分钟完成，然后对照【步骤分拆解】或【思路指引】，复盘自己哪些关键步骤写了/没写。

3. 固化：

将清单中的“核心动作”内化为解题本能，看到题型，第一步、第二步…反应出来。

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我将根据你的回答，提供更具针对性的下一阶段资料。祝你备考顺利！

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