更新时间：作者：小小条
在刚刚结束的2023年新高考1卷，数学第21题，考到了一道概率题。涉及省份一共有8个，分别为广东、福建、江苏、河北、山东、湖南、湖北和浙江。
21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换 为对方投篮。无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5。
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1,2，…，n，则E[Σ(1≤i≤n)Xi]=Σ(1≤i≤n)qi，记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E(Y)。
这道题的第（1）问非常简单，纯粹就是送分。
第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5=1/2。
如果第一次投篮的人是甲，甲每次投篮的命中率均为0.6=3/5，则甲每次投篮未命中的概率均为1-3/5=2/5，若甲第一次投篮未命中，则第二次换为乙投篮；
如果第一次投篮的人是乙，乙每次投篮的命中率均为0.8=4/5，则乙每次投篮未命中的概率均为1-4/5=1/5，若乙第一次投篮命中，则第二次继续为乙投篮。
（1）解：第2次投篮的人是乙的概率为：
P=(1/2)×(2/5)+(1/2)×(4/5)
=2/10+4/10=6/10=3/5
P=3/5
第（2）问就稍微有些难了，第i次投篮的人是谁，是由上一次即第i-1次投篮的人和结果决定的。
第i-1次投篮的人是甲，若甲投篮命中，则第i次继续为甲投篮；
第i-1次投篮的人是乙，若乙投篮未命中，则第i次换为甲投篮。
（1）解：记ai为第i次投篮的人是甲的概率，则第i次投篮的人是乙的概率为1-ai，所以
ai=(3/5)a(i-1)+(1/5)[1-a(i-1)]
=(3/5)a(i-1)+1/5-(1/5)a(i-1)
=(2/5)a(i-1)+1/5
ai=(2/5)a(i-1)+1/5
我们可以将ai看成一个数列的通项，接下来的问题转化为求出这个数列的通项公式。
a1=1/2
ai=(2/5)a(i-1)+1/5
ai+x=(2/5)a(i-1)+(1/5+x)
=(2/5)[a(i-1)+(1/2+5x/2)]
令x=1/2+5x/2
2x=1+5x，3x=-1
x=1/2+5x/2=-1/3
ai-1/3=(2/5)[a(i-1)-1/3]
令bi=ai-1/3，则
bi=(2/5)b(i-1)
bi/b(i-1)=2/5
b1=a1-1/3=1/2-1/3=1/6
b1=1/6
数列{bi}是一个首项b1=1/6，公比q=2/5的等比数列
bi=b1q^(i-1)=(1/6)(2/5)^(i-1)
bi=(1/6)(2/5)^(i-1)
bi=ai-1/3
ai=bi+1/3
=(1/6)(2/5)^(i-1)+1/3
ai=(1/6)(2/5)^(i-1)+1/3
实际上，这个问题本质上就是一个马尔科夫链。简单理解马尔科夫链，就是说下一次的选择只受上一次的结果以及对应的转移概率影响，与再之前的选择无关。
马尔科夫链的核心三要素为：
1.状态空间（States Space）
2.无记忆性（Memorylessness）
3.转移矩阵（Transition Matrix）
最后，我们再来看第（3）问，这一问当然就是拉差距的问题了，解决这个问题的关键在于理解题意。
随机变量Xi服从两点分布，这里的Xi代表第i次是否为甲投篮。如果是甲投篮，则Xi=1；如果不是甲投篮，则Xi=0。
第i次是甲投篮的概率为qi，所以有
P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi=ai
i=1,2，…，n
ai=(1/6)(2/5)^(i-1)+1/3
记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，则
Y=X1+X2+…+Xn=Σ(1≤i≤n)Xi
E[Σ(1≤i≤n)Xi]=Σ(1≤i≤n)qi
（3）解：E(Y)=E[Σ(1≤i≤n)Xi]
=Σ(1≤i≤n)qi=Σ(1≤i≤n)ai
=a1+a2+…+an
=(1/6+1/3)+[(1/6)(2/5)+1/3]
+…+[(1/6)(2/5)^(n-1)+1/3]
=[1+2/5+…+(2/5)^(n-1)]/6+n/3
=(1/6)[1-(2/5)^n]/(1-2/5)+n/3
=(5/18)[1-(2/5)^n]+n/3
=n/3+5/18-(1/9)(2/5)^(n-1)
E(Y)=n/3+5/18-(1/9)(2/5)^(n-1)
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