更新时间：作者：小小条
涵盖近年高考高频考点、解题模板及易错点，帮助考生高效突破压轴题：
核心方法：
四棱锥P-ABCD中，M为PC中点，AB∥CD，AB=2CD。求证：PA∥平面MBD。
关键：取PB中点N，证四边形AMND为平行四边形。
核心定理：线面垂直 ⇒ 面面垂直（a⊥β, a⊂α ⇒ α⊥β）
例题：
三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠BAC=90°。求证：平面A₁BC⊥平面BB₁C₁C。
关键：证BC⊥平面AA₁C₁C（需用线线垂直传递）。
步骤：
平移构造三角形用余弦定理：cosθ=∣m⋅n∣∣m∣∣n∣cosθ=∣m∣∣n∣∣m⋅n∣（向量法）公式：sinθ=∣n⋅d∣∣n∣∣d∣sinθ=∣n∣∣d∣∣n⋅d∣（d为方向向量，n为法向量）
例题：
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求BD₁与平面ABCD所成角的正弦值。
答案：6336（构造直角三角形计算）。
两种方法：
几何法：作棱的垂线得平面角向量法：cosθ=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣cosθ=∣n1∣∣n2∣∣n1⋅n2∣（注意锐角/钝角判断）万能公式：d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d=A2+B2+C2∣Ax0+By0+Cz0+D∣（平面方程）
向量法：d=∣AP→⋅n∣∣n∣d=∣n∣∣AP⋅n∣（A为平面上点）
步骤：
找公垂线段向量法：d=∣AB→⋅(m×n)∣∣m×n∣d=∣m×n∣∣AB⋅(m×n)∣（m,n为方向向量）关键：找交线端点（用线面交点或面面交线）
例题：
正方体棱长为2，过A、C₁及棱BB₁中点作截面，求截面周长。
答案：25+2225+22（梯形截面）。
方法：
轨迹为线段：利用面面平行或线线平行轨迹为圆弧：利用定角定长解题模板：
标未变量（如∠ABC翻折后不变）找垂直关系（常用三垂线定理）解三角形求边长例题：
矩形ABCD中，AB=3, BC=4，沿对角线BD翻折成120°二面角。求翻折后AC距离。
答案：32177321（构造空间坐标系计算）。
四大模型速解：
模型 | 球心位置 | 公式 |
长方体模型 | 体对角线交点 | 2R=a2+b2+c22R=a2+b2+c2 |
正棱锥模型 | 底面外心垂线上 | R=h2+r22hR=2hh2+r2 |
侧棱垂直底面 | 底面外心垂线 + 中垂面 | 解方程组求R |
面面垂直模型 | 两平面外垂线交点 | 找等距点构造方程 |
例题：
三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=3, BC=4, PA=5。求外接球半径。
解析：补形为长方体 → 2R=32+42+52=522R=32+42+52=52 → R=522R=252。
陷阱类型 | 典型案例 | 避错策略 |
建系不满足垂直 | 底面非直角时强行建系 | 先证三线两两垂直 |
二面角判断错误 | 将钝角二面角当作锐角计算 | 观察法向量方向或实际模型 |
忽略存在性条件 | 动点问题未验证轨迹有效性 | 检查边界点是否满足条件 |
向量法忽略方向 | 线面角公式未取绝对值导致负值 | 所有角度公式取绝对值 |
经典例题实战（新高考真题变式）：
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2。
(1) 求证：BD⊥PC；
(2) 求二面角A-PC-D的余弦值。
解析：
(1) 连AC交BD于O，证BD⊥平面PAC（利用菱形对角线垂直）
(2) 向量法：以O为原点建系 → 求平面APC、DPC法向量 → cosθ=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣cosθ=∣n1∣∣n2∣∣n1⋅n2∣
答案：(1) 略；(2) −64−46（钝二面角）
冲刺建议：重点掌握 向量法通解步骤（建系→坐标→法向量→公式），强化 翻折问题 与 外接球四大模型 训练，确保大题满分！
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