更新时间：作者：小小条
这里为你准备了5道高中数学中具有代表性的求极限题目，并附上详细的解答。这些题目涵盖了高考和平时考试中的常见题型，希望能帮助你巩固极限知识，实现学霸逆袭！
极限求法核心思路
在开始之前，先回顾一下求极限的几种核心方法：
1. 代入法：如果函数在该点连续，直接代入。
2. 因式分解法：处理“0/0”型未定式，通过约去零因子简化。
3. 有理化法：处理含有根号的“0/0”型或“∞-∞”型未定式。
4. 利用重要极限：记住两个重要极限：lim(x→0) sin(x)/x = 1 和 lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
5. 无穷小比较法：当x→0时，sinx ~ x，tanx ~ x，ln(1+x) ~ x，e^x - 1 ~ x 等。
题目与解答
第一题：基础代入与因式分解
题目： 求极限 lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2)。
思路分析： 这是经典的“0/0”型未定式。分子是平方差公式，可以因式分解，与分母约去零因子(x-2)。
解答：
lim(x→2) (x² - 4) / (x - 2)
= lim(x→2) [(x - 2)(x + 2)] / (x - 2)// 因式分解分子
= lim(x→2) (x + 2)// 约去公因子(x-2)
= 2 + 2 = 4
答案： 4
第二题：根式有理化
题目： 求极限 lim(x→3) (√(x+1) - 2) / (x - 3)。
思路分析： 同样是“0/0”型。分子含有根式，我们使用有理化的方法，分子分母同时乘以分子的共轭根式 (√(x+1) + 2)。
解答：
lim(x→3) (√(x+1) - 2) / (x - 3)
= lim(x→3) [(√(x+1) - 2)(√(x+1) + 2)] / [(x - 3)(√(x+1) + 2)]// 分子有理化
= lim(x→3) [(x+1) - 4] / [(x - 3)(√(x+1) + 2)]// 运用平方差公式(a-b)(a+b)=a²-b²
= lim(x→3) (x - 3) / [(x - 3)(√(x+1) + 2)]// 化简分子
= lim(x→3) 1 / (√(x+1) + 2)// 约去公因子(x-3)
= 1 / (√(3+1) + 2) = 1 / (2 + 2) = 1/4
答案： 1/4
第三题：利用重要极限（一）
题目： 求极限 lim(x→0) sin(3x) / (5x)。
思路分析： 此题考察第一个重要极限 lim(u→0) sin(u)/u = 1。关键是将结构凑成标准形式。
解答：
lim(x→0) sin(3x) / (5x)
= lim(x→0) (1/5) * (sin(3x) / x) * (3/3)// 为了凑出(3x)，我们乘以再除以3
= lim(x→0) (3/5) * (sin(3x) / (3x))// 整理
令u = 3x，则当 x→0 时，u→0。
= (3/5) * lim(u→0) sin(u) / u// 应用重要极限
= (3/5) * 1 = 3/5
答案： 3/5
第四题：利用重要极限（二）
题目： 求极限 lim(x→∞) (1 + 2/x)^(x)。
思路分析： 此题考察第二个重要极限 lim(u→0) (1+u)^(1/u) = e。我们需要把底数凑成 (1 + 1/t) 的形式，指数凑成 t。
解答：
令t = x/2，则当 x→∞ 时，t→∞。且 x = 2t。
原极限= lim(t→∞) (1 + 1/t)^(2t)
= lim(t→∞) [(1 + 1/t)^t]^2// 运用指数运算法则
= [lim(t→∞) (1 + 1/t)^t]^2// 极限的幂运算法则
= e^2// 应用重要极限
答案： e²
第五题：分段函数的极限
题目： 设函数 f(x) = { x² + 1, x < 1; 2x, x ≥ 1 }，求 lim(x→1) f(x)。
思路分析： 对于分段函数在某点的极限，需要分别考察该点的左极限（从左边趋近）和右极限（从右边趋近）。只有当左、右极限存在且相等时，该点的极限才存在。
解答：
1. 求左极限：当 x 从1的左侧趋近于1时（即 x<1），使用函数式 f(x) = x² + 1。
lim(x→1⁻) f(x) = lim(x→1⁻) (x² + 1) = 1² + 1 = 2
2. 求右极限：当 x 从1的右侧趋近于1时（即 x>1），使用函数式 f(x) = 2x。
lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺) (2x) = 2 * 1 = 2
3. 比较左右极限：
lim(x→1⁻) f(x) = 2，lim(x→1⁺) f(x) = 2。
因为左极限等于右极限，所以函数在 x→1 时的极限存在。
答案： 2
学霸逆袭指南：如何学好极限
1. 理解概念是根基：不要只记公式。要明白极限描述的是一个“无限趋近”的动态过程，理解左极限、右极限为何能判断极限是否存在。
2. 分类归纳题型：就像上面的5道题，每种方法对应一类典型题型。多做练*，看到题目形式就能反应出应该用什么方法。
3. 总结运算技巧：因式分解、有理化、换元法都是基本功，必须非常熟练。两个重要极限的形式要牢记于心，并会灵活变形。
4. 规范书写步骤：尤其在考试中，清晰的步骤能体现你的思路，即使结果算错，过程分也能拿到。避免跳步。
5. 针对性刷题：找出自己的薄弱环节，是“0/0”型处理不好，还是分段函数总是出错？然后进行专项练*。
希望这5道题和解答能对你有所帮助！数学学*是一个积累和思考的过程，坚持下去，你一定能成功逆袭！
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