更新时间：作者：小小条
一个通俗例子：
我们说 1 kg 水，在理论上是确定的 1 kg 水，但在物理上是一个近似值，因为无论用多精密的仪器去称都存在误差。
对应到数学中：
我们有一个“目标值” L = 1 kg（理论的、理想的质量）。
实际测量结果 m 与 L 之间的差 |m - 1| 就是误差。
物理测量总有误差，所以 m 是真实值的一个近似。
为了极度精确，我们需要这个误差值趋近于 0。
数学上，“趋近于 0” 并不是一次测量让误差为 0，而是一个过程：我们通过提高仪器精度，让误差可以任意小。
用极限的话说：
这里“精度→∞”是直观说法，数学上用 δ-ε 来严格化。
对应的 δ-ε 语言
对于任何你能够说得出的误差值（ε > 0），我都能做到实际的误差小于你给出的误差值，这样我们最后获得的结果就无限接近于正确值。
对应到极限 lim_{x → a} f(x) = L 的 ε-δ 定义：
“任何你说得出的误差值” 就是 ε（一个任意小的正数）。
你想保证实际值 f(x) 与 L 的误差 |f(x) - L| < ε
为了做到这点，你需要 x 足够接近 a （但 x \neq a ）。
“足够接近” 的程度用另一个小正数 δ 表示，只要 0 < |x-a| < δ ，就能保证上面的误差小于 ε。
在上面的通俗例子中，测量误差与仪器精度有关，但“仪器精度”类似于 δ —— 控制测量时的条件，使得输出结果与目标值的差在允许范围 ε 内。
从这个通俗例子导出的“极限的原理”
“极限”描述的是无限趋近但可能达不到，其严格定义就是用 ε 的任意小和对应的 δ 存在性来描述的，避免了“无穷小”的模糊说法。
“最后获得的结果无限接近于正确值”在数学上就是：
不论你要求多接近（ε），我都有办法做到（找到 δ），因此极限存在。
这展现出 ε-δ 思想的本质：
目标：让误差 |m - L| 小于任意指定的正数 ε。
方法：通过控制某个条件（测量精度、自变量与某点的距离 δ），使得误差达到要求。
极限成立：对任意 ε>0 都能做到。
这就是现代数学分析中极限定义的物理直观，由柯西、魏尔斯特拉斯等人完善，使微积分严密化。
版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除