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第五章知识点清单

目录

第五章 函数应用

　　§1 方程解的存在性及方程的近似解

　　§2 实际问题中的函数模型

第五章 函数应用

§1 方程解的存在性及方程的近似解

一、函数的零点

1. 函数的零点的概念

使得f(x0)=0的数x0称为方程f(x)=0的解，也称为函数f(x)的零点. f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.

2. 方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点.

3. 零点存在定理

若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.

二、 二分法

　　对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.

三、用二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤

　　给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤：

1. 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0.

2. 求区间(a，b)的中点c.

3. 计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)<0 (此时x0∈(a，c))，则令b=c；

(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a=c.

4. 判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值(可以是[a，b]中的任意一个值)；否则重复步骤2~4.

四、函数零点个数的判断及应用

1. 判断函数零点个数的主要方法

(1)转化为解相应的方程，根据方程解的个数判断零点的个数.

(2)画出函数y=f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断零点的个数.

(3)借助函数的单调性进行判断. 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点.

(4)转化成判断两个函数图象的交点个数问题.

2. 已知函数零点个数求参数范围，为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向：(1)化已知函数为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离时，也要使含参数的部分尽可能简单.

五、一元二次函数零点的分布问题

　　若函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根，判别式Δ=b2-4ac，k，k1，k2(k1<k2)是常数，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如表所示.

六、用二分法求方程的近似解

　　给定精确度，利用二分法求方程近似解的步骤如图所示.

§2 实际问题中的函数模型

一、常见函数模型及解法流程

二、 如何解决未知函数模型的实际问题

　　解决未知函数模型的实际问题时，主要抓住四点：求什么，设什么，列什么，限制什么.

(1)“求什么”就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务，通常表现为求函数值.

(2)“设什么”就是弄清楚这个问题中有哪些变化因素，找出变化的根源，通常设变化的根源为自变量.

(3)“列什么”就是从函数值出发逐步应用公式，用自变量与已知量表示函数值，直至求出函数解析式.

(4)“限制什么”就是指自变量应满足的限制条件，不仅要考虑自变量是否有意义，还要考虑用自变量表示的所有其他量是否有意义，另外还要考虑变量的实际含义，如整数解等.

二、 建立拟合函数模型解决实际问题

1. 建立拟合函数模型的一般流程

2. 需要注意：

(1)检验求出的模型是否符合实际这一步骤不能省略；

(2)在选择函数模型时，要使函数的性质与所要解决的问题的变化基本吻合，通常用待定系数法求函数的解析式，由于函数模型的局限性，所求数据往往只是在一定的范围内与实际问题相符.

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