更新时间：作者：小小条
1. 题目：已知两角一边，求边与面积
在三角形ABC中，已知A = 30°，B = 45°，边a = 10。求：
(1) 边b的长度
(2) 边c的长度
(3) 三角形面积S
解答：
(1) 求角C：
C = 180° - 30° - 45° = 105°
(2) 用正弦定理求边b：
根据正弦定理：a/sinA = b/sinB
10/sin30° = b/sin45°
10/0.5 = b/(√2/2)
20 = b/(√2/2)
b = 20 × (√2/2) = 10√2
(3) 用正弦定理求边c：
a/sinA = c/sinC
20 = c/sin105°
sin105° = sin(60°+45°) = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4
c = 20 × (√6 + √2)/4 = 5(√6 + √2)
(4) 用面积公式求面积S：
S = (1/2)ab sinC = (1/2)×10×10√2×(√6 + √2)/4
= 25√2 × (√6 + √2)/4 = 25(2√3 + 2)/4 = (25/2)(√3 + 1)
答案： b = 10√2, c = 5(√6 + √2), S = (25/2)(√3 + 1)
2. 题目：已知两边及夹角，求边与面积
在三角形ABC中，已知b = 8，c = 5，角A = 60°。求：
(1) 边a的长度
(2) 三角形面积S
解答：
(1) 用余弦定理求边a：
a² = b² + c² - 2bc cosA
= 64 + 25 - 2×8×5×cos60°
= 89 - 80×0.5 = 89 - 40 = 49
a = 7
(2) 用面积公式求面积S：
S = (1/2)bc sinA = (1/2)×8×5×sin60°
= 20×(√3/2) = 10√3
答案： a = 7, S = 10√3
3. 题目：已知三边，求角
在三角形ABC中，已知a = 7, b = 5, c = 8。求角C。
解答：
用余弦定理求角C：
cosC = (a² + b² - c²)/(2ab)
= (49 + 25 - 64)/(2×7×5)
= 10/70 = 1/7
C = arccos(1/7)
答案： C = arccos(1/7)
4. 题目：已知两边及一对角，判断解的个数并求解
在三角形ABC中，已知a = 8, b = 10，角B = 30°。判断此三角形解的个数。若存在，求出角A。
解答：
这是一个边边角情况，需要判断解的个数。
(1) 计算高h：h = a sinB = 8×0.5 = 4
(2) 比较边长判断：
b = 10（已知角的对边），a = 8（已知角的一条邻边）
因为a > h 且 a < b（即4 < 8 < 10）
根据判定法则，此时三角形有两解
(3) 用正弦定理求角A：
a/sinA = b/sinB
8/sinA = 10/0.5 = 20
sinA = 8/20 = 0.4
A₁ = arcsin0.4（锐角）
A₂ = 180° - arcsin0.4（钝角）
因为A₁ + B < 180° 且 A₂ + B < 180°，所以两解都成立
答案： 两解, A₁ = arcsin(2/5), A₂ = 180° - arcsin(2/5)
5. 题目：求角平分线长度
在三角形ABC中，AB = 6, AC = 4，角A = 60°。AD是角A的平分线，交BC于D。求AD的长。
解答：
设AD = x
根据角平分线性质：BD/DC = AB/AC = 6/4 = 3/2
用面积法：
S△ABC = S△ABD + S△ADC
(1/2)×AB×AC×sinA = (1/2)×AB×AD×sin(A/2) + (1/2)×AC×AD×sin(A/2)
(1/2)×6×4×sin60° = (1/2)×6×x×sin30° + (1/2)×4×x×sin30°
12×(√3/2) = (3x + 2x)×(1/2)
6√3 = 5x/2
x = 12√3/5
答案： AD = 12√3/5
6. 题目：判断三角形形状
在三角形ABC中，已知(a + b + c)(a + b - c) = 3ab。判断三角形的形状。
解答：
化简已知等式：
(a + b + c)(a + b - c) = 3ab
(a + b)² - c² = 3ab
a² + 2ab + b² - c² = 3ab
a² + b² - c² = ab
联系余弦定理：
c² = a² + b² - 2ab cosC ⇒ a² + b² - c² = 2ab cosC
代入上式：2ab cosC = ab
因为ab ≠ 0，两边除以ab：2cosC = 1
cosC = 1/2
C = 60°
答案： 有一个角为60°的三角形
希望这6道题能帮助你巩固解三角形的知识！
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