更新时间：作者：小小条
高中数学最值题难倒一片人？选择题、填空题、压轴题都有它，不会方法纯属瞎忙活！
据高考命题数据统计，最值问题在高中数学试卷中占比高达15%-20%，从基础题到压轴题全覆盖，是拉开分数差距的关键题型。很多同学刷题无数，却还是摸不着门道，其实核心是没掌握“对症下药”的解题方法——不同题型对应不同技巧，瞎用方法只会事半功倍。
先说说最基础的配方法，这是二次函数最值的“万能钥匙”。不管是y=ax²+bx+c这类标准式，还是带括号的复杂二次函数，核心都是通过配方变成y=a(x-h)²+k的形式。记住“开口方向定最值”：a>0时，顶点(h,k)是最小值点；a<0时，顶点就是最大值点。比如求y=x²-4x+3的最值，配方后变成y=(x-2)²-1，a=1>0，所以x=2时，最小值是-1，简单又好记。
单调性法也常用，适合一次函数、指数对数函数这类“走势单一”的函数。先判断函数在定义域内是增是减：一次函数y=kx+b，k>0就递增，k<0就递减，区间端点就是最值点；分式函数比如y=(x+1)/(x-1)，可以化简后看单调性。举个例子，求y=2x+1在[1,3]上的最值，k=2>0递增，所以x=1时取最小值3，x=3时取最大值7，一步到位。
均值不等式法是求最值的“捷径”，但得记住“一正二定三相等”的规矩。常用公式就是a+b≥2√(ab)（a、b都是正数），当且仅当a=b时取等号。比如求y=x+(4/x)（x>0）的最小值，直接套用公式，x=4/x即x=2时，最小值是4。但要是忽略“正数”条件，x为负数时就会出错，这点可别马虎。
导数法是高中阶段的“终极武器”，适合复杂函数比如三次函数、复合函数。步骤很固定：先求导找到导数为0的临界点，再判断临界点和区间端点的函数值，最大的就是最大值，最小的就是最小值。比如求y=x³-3x在[-2,2]上的最值，求导得y’=3x²-3，令导数为0，解得x=1或x=-1，再代入区间端点和临界点计算，就能得出最值，压轴题常用这招。
还有数形结合法，适合那些看着抽象的题目。比如求两点之间距离的最值、线性规划问题，画个图就能直观找到答案。像线性规划题，先根据约束条件画出可行域，再找目标函数对应的直线，平移直线找到与可行域相切的点，就是最值点，高考选择题里经常考这题型。
判别式法专门对付分式函数，比如y=(x²+2x+3)/(x+1)。把式子整理成关于x的二次方程，利用判别式Δ≥0，就能求出y的取值范围，进而得到最值。不过要注意分母不能为0，最后得验证结果是否符合定义域。
三角函数有界性也不能忘，sinx和cosx的取值范围都是[-1,1]，这是天然的“最值边界”。比如求y=2sinx+3的最值，最大值就是2×1+3=5，最小值是2×(-1)+3=1，直接套用就行，不用复杂计算。
换元法适合处理含根号、绝对值的函数，把复杂部分换成新变量，简化计算。比如求y=√(x-1)+x的最值，令t=√(x-1)（t≥0），则x=t²+1，函数变成y=t+t²+1，再用配方法求最值，就简单多了。
我觉得，高中数学求最值不是“死记方法”，而是“灵活匹配”。拿到题目先判断题型，再选对应的方法，比盲目刷题效率高多了。而且这些方法不是孤立的，很多压轴题需要多种方法结合，比如导数法加均值不等式，这就需要多练*多总结。
最后想问问大家：你觉得高中数学最值题最难的是哪种题型？你是靠刷题积累经验，还是先吃透方法再做题？如果考试时遇到没见过的最值题，你会优先尝试哪种方法？欢迎在评论区分享你的解题心得！
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