更新时间：作者：小小条
最新希望杯试题高一及答案
一、单项选择题
1. 设集合\(A = \{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}\)，\(B = \{x|x^2 - ax + a - 1 = 0\}\)，若\(A\cup B = A\)，则\(a\)的值为（ ）
A. \(2\) B. \(3\) C. \(2\)或\(3\) D. \(1\)或\(2\)或\(3\)
答案：C
2. 函数\(y = \log_{0.5}(4x - 3)\)的定义域为（ ）
A. \((\frac{3}{4}, +\infty)\) B. \([\frac{3}{4}, +\infty)\) C. \((\frac{3}{4}, 1]\) D. \((\frac{3}{4}, 1)\)
答案：C
3. 已知\(\sin\alpha = \frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，则\(\tan\alpha\)的值是（ ）
A. \(\frac{3}{4}\) B. \(-\frac{3}{4}\) C. \(\frac{4}{3}\) D. \(-\frac{4}{3}\)
答案：B
4. 若\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a + b = 4\)，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. \(\frac{1}{ab}\geq\frac{1}{2}\) B. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq1\) C. \(\sqrt{ab}\geq2\) D. \(a^2 + b^2\leq8\)
答案：B
5. 已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3 + a_4 + a_5 = 12\)，则\(S_7\)的值为（ ）
A. \(28\) B. \(42\) C. \(56\) D. \(14\)
答案：A
6. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x, - 4)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（ ）
A. \(-2\) B. \(2\) C. \(-8\) D. \(8\)
答案：A
7. 函数\(y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})\)的图象的对称轴方程可能是（ ）
A. \(x = -\frac{\pi}{6}\) B. \(x = -\frac{\pi}{12}\) C. \(x = \frac{\pi}{6}\) D. \(x = \frac{\pi}{12}\)
答案：D
8. 若直线\(l_1:ax + 2y + 6 = 0\)与直线\(l_2:x + (a - 1)y + a^2 - 1 = 0\)平行，则实数\(a\)的值为（ ）
A. \(-1\) B. \(2\) C. \(-1\)或\(2\) D. \(\frac{2}{3}\)
答案：A
9. 已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geq0\)时，\(f(x)=x^2 - 2x\)，则\(f(-1)\)的值为（ ）
A. \(3\) B. \(-3\) C. \(1\) D. \(-1\)
答案：B
10. 已知函数\(y = \log_{a}(x - 1)+1(a\gt0,a\neq1)\)的图象恒过定点\(P\)，则点\(P\)的坐标是（ ）
A. \((1,1)\) B. \((2,1)\) C. \((2,0)\) D. \((1,0)\)
答案：B
二、多项选择题
1. 下列关于函数性质的说法正确的有（ ）
A. 若\(f(x)\)为奇函数，则\(f(0)=0\)
B. 函数\(y = f(x + 1)\)的图象可由\(y = f(x)\)的图象向左平移\(1\)个单位得到
C. 若函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上有零点，则\(f(a)f(b)\leq0\)
D. 函数\(y = f(x)\)在区间\([a,b]\)上的图象是连续不断的一条曲线，且\(f(a)f(b)\lt0\)，则函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内至少有一个零点
答案：BD
2. 已知\(\alpha\)是第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A. \(\sin\alpha\gt0\) B. \(\cos\alpha\gt0\) C. \(\tan\alpha\lt0\) D. \(\sin2\alpha\lt0\)
答案：ACD
3. 下列关于等差数列的说法正确的有（ ）
A. 若\(\{a_n\}\)是等差数列，则\(\{a_{n + 1}-a_n\}\)是常数列
B. 若\(\{a_n\}\)是等差数列，则\(\{a_{2n}\}\)也是等差数列
C. 若\(\{a_n\}\)是等差数列，则\(a_n = pn + q\)（\(p,q\)为常数）
D. 若\(\{a_n\}\)是等差数列，则其前\(n\)项和\(S_n\)是关于\(n\)的二次函数
答案：ABC
4. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(m,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(1,n - 1)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则下列说法正确的有（ ）
A. \(m + n = 1\) B. \(m^2 + n^2\geq\frac{1}{2}\) C. \(mn\)的最大值为\(\frac{1}{4}\) D. \(m^2 + n^2\)的最小值为\(\frac{1}{2}\)
答案：BCD
5. 已知函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0,|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)的部分图象如图（这里虽不看图，但题设可想象），则下列说法正确的有（ ）
A. \(A = 2\)
B. \(\omega = 2\)
C. \(\varphi=\frac{\pi}{6}\)
D. 函数的单调递增区间是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}](k\in Z)\)
答案：ABCD
6. 已知直线\(l_1:y = k_1x + b_1\)，\(l_2:y = k_2x + b_2\)，则下列说法正确的有（ ）
A. 若\(l_1\parallel l_2\)，则\(k_1 = k_2\)且\(b_1\neq b_2\)
B. 若\(l_1\perp l_2\)，则\(k_1k_2=-1\)
C. 若\(l_1\)与\(l_2\)相交，则\(k_1\neq k_2\)
D. 若\(l_1\)与\(l_2\)重合，则\(k_1 = k_2\)且\(b_1 = b_2\)
答案：ACD
7. 已知集合\(A=\{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}\)，\(B=\{x|ax - 2 = 0\}\)，若\(A\cap B = B\)，则实数\(a\)的值可能为（ ）
A. \(0\) B. \(1\) C. \(2\) D. \(3\)
答案：ABC
8. 已知函数\(f(x)=x^2 - 2x + 3\)在区间\([0,m]\)上有最大值\(3\)，最小值\(2\)，则\(m\)的取值范围可能是（ ）
A. \([1,2]\) B. \((1,2]\) C. \([1,+\infty)\) D. \((1,+\infty)\)
答案：AB
9. 已知\(a,b,c\)均为正实数，且\(a + b + c = 1\)，则下列不等式成立的有（ ）
A. \(ab + bc + ca\leq\frac{1}{3}\)
B. \(a^2 + b^2 + c^2\geq\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9\)
D. \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\sqrt{3}\)
答案：ABCD
10. 已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n = 2n^2 - 3n\)，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列\(\{a_n\}\)是等差数列
B. \(a_n = 4n - 5\)
C. \(S_n\)的最小值为\(-\frac{9}{8}\)
D. 当\(n\geq2\)时，\(S_n\gt S_{n - 1}\)
答案：ABD
三、判断题
1. 若集合\(A = \{1,2,3\}\)，\(B = \{2,3,4\}\)，则\(A\cap B = \{2,3\}\)。（ ）
答案：√
2. 函数\(y = \frac{1}{x}\)在定义域内是减函数。（ ）
答案：×
3. 若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（ ）
答案：×
4. 若\(a\gt b\)，则\(ac^2\gt bc^2\)。（ ）
答案：×
5. 已知等差数列\(\{a_n\}\)的通项公式\(a_n = 3n - 2\)，则其前\(n\)项和\(S_n=\frac{n(1 + 3n - 2)}{2}=\frac{n(3n - 1)}{2}\)。（ ）
答案：√
6. 若向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(\theta\)，则\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)。（ ）
答案：√
7. 函数\(y = \sin2x\)的周期是\(\pi\)。（ ）
答案：√
8. 若直线\(l_1\)的斜率\(k_1\)与直线\(l_2\)的斜率\(k_2\)相等，则\(l_1\parallel l_2\)。（ ）
答案：×
9. 已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，且在\((0,+\infty)\)上单调递增，则\(f(-2)\lt f(1)\)。（ ）
答案：×
10. 若\(a,b\in R\)，且\(a^2 + b^2 = 0\)，则\(a = b = 0\)。（ ）
答案：√
四、简答题
1. 求函数\(y = \log_{2}(x^2 - 4x + 3)\)的定义域和单调区间。
答案：要使函数有意义，则\(x^2 - 4x + 3\gt0\)，即\((x - 1)(x - 3)\gt0\)，解得\(x\lt1\)或\(x\gt3\)，所以定义域为\((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\)。令\(t = x^2 - 4x + 3=(x - 2)^2 - 1\)，函数\(y=\log_{2}t\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。\(t = x^2 - 4x + 3\)在\((-\infty,1)\)上单调递减，在\((3,+\infty)\)上单调递增，根据复合函数同增异减原则，函数\(y = \log_{2}(x^2 - 4x + 3)\)的单调递减区间是\((-\infty,1)\)，单调递增区间是\((3,+\infty)\)。
2. 已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3 = 5\)，\(a_7 = 13\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式和前\(n\)项和公式。
答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，则\(a_7 - a_3 = 4d = 13 - 5 = 8\)，解得\(d = 2\)。又\(a_3 = a_1 + 2d = 5\)，把\(d = 2\)代入得\(a_1 = 1\)。所以\(a_n = a_1+(n - 1)d = 1 + 2(n - 1)=2n - 1\)。前\(n\)项和\(S_n = na_1+\frac{n(n - 1)}{2}d = n\times1+\frac{n(n - 1)}{2}\times2 = n^2\)。
3. 已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,2)\)，当\(k\)为何值时，\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\)垂直？
答案：\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=k(1,2)+(-3,2)=(k - 3,2k + 2)\)，\(\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(1,2)-3(-3,2)=(1 + 9,2 - 6)=(10,-4)\)。因为\(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)与\(\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\)垂直，所以\((k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}) = 0\)，即\(10(k - 3)-4(2k + 2)=0\)，展开得\(10k - 30 - 8k - 8 = 0\)，\(2k = 38\)，解得\(k = 19\)。
4. 已知函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。
答案：当\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时，\(2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]\)。当\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x=\frac{\pi}{12}\)时，\(f(x)\)取得最大值\(\sin\frac{\pi}{2}=1\)；当\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\)，即\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)\)取得最小值\(\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
五、讨论题
1. 讨论函数\(f(x)=x^2 - 2ax + 1\)在区间\([0,2]\)上的单调性和最值情况。
答案：函数\(f(x)=x^2 - 2ax + 1=(x - a)^2 + 1 - a^2\)，其图象开口向上，对称轴为\(x = a\)。当\(a\leq0\)时，函数在\([0,2]\)上单调
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