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数学语言漫谈

各种语言通用的，陈述数学内容的，专用语言文字。称为数学语言。在不同母语中，发音不同。同一种字符形状，表示的意义是相同的。也称为专用于表示数学概念的字符串。

一，常数字符，{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}字符中，取0，1两个字符，组成的可重复的排列，从右向左，除第一位可为0之外，第二位起不能全是0，则每一个排列，表示一个数，这样生成的数称为二进制表示的自然数。取0，1，2。同样要求的每一个可重重排列，称为三进制自然数。如此类推，分别称为，四进别，五进制，…，十进制自然数。全用完这十个字符了。

用{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}表示的自然数的不同进位制，转化为十进制，应是多少？

用位置表示该位置上，单位数是多少？

自然数从左到右，计位置之编号数。

第一位，计数单位为全是1。

第二位，计数单位为2，是二进制。

第二位，计数单位为3，是三进制

第二位，计数单位为4，是四进制

第二位，计数单位为5，是五进制

第二位，计数单位为6，是六进制

第二位，计数单位为7，是七进制

第二位，计数单位为8，是八进制

第二位，计数单位为9，是九进制

第二位，计数单位为10，是十进制。

以后，相邻两位置的计数单位。n位制，左侧是右侧单位的n倍。右侧是左侧单位的1/n。

m进制，第n位数，计数单位为

m^（n一1）。

第一位的计数单位总为

m^（1一1）=m^0=1。

各位表示之数的和数，才是该字符所表示的数。

例如：

二进制。101=（十进制）1十0十2^（3一1）=1十2^2=1十4=5。！

三进制。101=（十进制）1十0十3^（3一1）=1十3^2=1十9=10。

五进制。101=（十进制）1十0十5^（3一1）=1十5^2=1十25=26。

…

十进制。101=1百另1。（10^2十1）。

二，运算符。+，一，x，÷….。

三，括号，（），[ ]，{ }。

四，变数符号，任何一称字符串，加以指定。不是常数符，运算符，与其他专用字符。都可以表示变数或未知数。

五，关系符。=，>，<，…。

六，其他专用字符。

作为陈述句使用的字符串。

一，表达式，由常数或变数，运算符，括号。组成的表示一个数的字符串，称为表达式。一定要明确表示一个数，否则不叫表达式。

例如，3十4，是一个表达式，它既表示3，4两个数进行加法运算，又表示和数。如问，到底表示什么？使用者认为表示什么更有利，它就表示那一个。这种不会引起混乱的变通，是数学灵活性的一个来源。当要突出表示数时，就加上一对括号，（3十4），运算时优先计算。

两个表示数的字符串，都可以进行远算，例，6一3一2。…。

6x3÷2，3十5x4÷2。都是表达式。

表达式分类

例6一3一2

原式=3一2=1，不按规定次序，

原式=6一（3一2）=6一1=5。

全由加减组成的表达式，称多项式，最少是二项式。还有三项式，四项式…等。加，减个数为n一1时，称为n项式。

全由乘除组成的表达式称为单项式，单项式可以作一个数。进入多项式，作一项出现。

6x3÷2是单项式，3十5x4÷2是二项式。

多项式或单项式中的运算次序规定。

只能一个运算完了之后，再算号一个运算，不同的运算次序，得出的结果，可能不相同。这样就破坏了一个表达式只表示一个数的要求。规定，多项式从左到右依次计算加减法，单项式，从左到右依次计算乘除法。先乘除后加减的规定。就专化成，多项式中先分别算每一个单项式。算完之后，再算加减法。

等号的使用与等式概念。

当按加法定义，把3十4计算出来之后为7。这样就出现两个不同的字符串，表示同一个数。于是用关系符等号来表示这一关系符。3十4=7。这个字符串整体，不再称为表达式，称为等式。如果算错了，算成和数为6了。答案书写成3十4=6。还是称为等式。

学*数学不但要知正确的是什么样子，也要知道错误是什么样子。

于是，把等式分成了两类。3十4=7，称为恒等式，表达式从形式3十4变成了7，称为表达式的恒等变形。表达只允许进行恒等变形。3十4=6，称为非恒等式。3十4变形为6，不是恒等变形，计算错了！3十4=6不是恒等式，也可说3十4=6是“相等关系不成立的等式。

等式是根据形式来进行定义，用等号把两个表达式连接起来的字符串，称为等式。与相等关系是否成立无关。

等式相等关系不成立。可简化为“相等关系不成立”或“不成立”。不能简化成“等式不成立”。这样可能被理解为这个字符串不是等式了！再逻辑推理就得。不存在无解方程了！忘了判断方程无解也是解方程的一个要求了！

表达式的桓等变形法则。

例6一3一2！按规定次序计算，原式=（6一3）一2=3一2=1。改变运算次序。原式=6一（3一2）=6一1=5。是错误答案。

并非不可改变，需按恒等变形法则来进行。

恒等改变运算次序。先加括号。如果括号前是加号，加上即可。如果是减号。括号内，运算符全改为逆运算符。原式=6一（3十2）=6一5=1。

加法有交换律，减法无交换律，可统一使用改变项的位置的恒等变形法则，把每一项之运算符与数字符，作为一个整体来改变位置是恒等变形。

6一5十4=6十4一5=10一5=5。

7十3一7=7一7十3=3。

开初，道项前无运算符，不得移动位置。学了整数运算之后，可认为最前面的“十”号被省略了，先恢复之后，就可改变位置为恒等变形了！

单顶式内，恒等变形法则，类似加减法。改变运算之恒等变形，先加括号。如里括号前是乘号，加上即可。如果是除号，括号内之运算符号全换成逆远算符号，才是恒等变形。改变位置之恒等变形，联同运算符号作一个整体移动。当作为多项式的一项出现时。与式前加减号

无关。

当恒等变形涉及两级运算时，必须按分配律来进行变形才是恒等变形。

同解变形概念

含变数的表达式的分类。

在{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中，取出一个数字出来，如何表示？

这样的数是变化的，具体取到哪一个数，是未知的。只需任取一个字符，不是己表示数学语言的，加以指定即可。例如，没a表示这些数集合中的一个数。或，没乙表示自然数。…

当在表达式中，出现变数或未知数时。这个表达式还是既表示多个运算又表示一个数。

a十2，2一乙，都是表达式。

a+2=2+a， 3一乙=乙一1。都是等式。

相等关系是否成立？如何判断？

对变数具体化，用一个常数代表它。

例如没a=1，代入表达式中，等号两端可计算出一个数，就可通过这两个常数来判了。

左端=1+2=3，右端=2十1=3。成立。可简写如下：

没a=1，左=3，右=3，成立。

没乙=1，左=2，右=0，不成立。

当一个常数代入等式，相等关系成立。这个数称为该等式的一个解。

如果，相等关系不成立，这个就不是解，可称非解。

1是等式a十1=1十a的解。

1是等式3一乙=乙一1的非解。也可说1不是解。

当每一可取之值，相等关系都成立，则称等式是恒等式。否则。称为方程式。

如果从表达式来说，就是表达式变形了。

对恒等式两端的表达式来说，表达式之一个到另一个是恒等变形。

对方程式，不能说一端到另一端是恒等变形。

方程式3一乙=乙一1

中当乙=2时，左=3一2=1。

右=2一1=1，相等关系成立。2是此方程式的解，其他数都是非解。

方程a十2=a十3，不论a取何值，相等关系都不成立。这样的方程式，称为无解方程。

于是等式分为恒等式与方程式两类。方程式又分为两类，有解方程与无解方程。

恒等式

等式 { 有解方程式

方程式{

无解方程式。

求出方程的解或证明方程无解，称为解方程。

解方程，3一乙=乙一1。

解，把乙一1看成一个数，它就是

3一乙的差数。根据减法定义，等式变形为3=乙十乙一1=2x乙一1

2x乙=3十1=4，根据除法定义，

乙=4÷2=2。

当把乙=2，代入以上每一个等式。相等关系都成立，2是每一个方程式的解。这样的变形，对等式来说，称为同解变形。

同解变形之后，两个等式的解集与非解集合，全都不改变。于是恒等式同解变形之后，还是恒等式。

a十2=2十a作为方程成来解。

根据减法定义2=2十a一a=2。不论a取何值，相等关系都成立，不存在非解。故等式就是恒等式。作为方程说，方程的解是无数多个，一切数都是解。

利用运算定义，引起的等式变形，全是同解变形。

等式两端分别进行恒等变形，是等式的同解变形。称为对两端分别化简，简称化简。

等式同解变形的其他法则。

解方程是数学的重点内容，为了提高效率。根据上述两条，又创理了不少同解变形法则。先介绍一些概念的数学专用语言。当用专用语言陈述时，更容易准确理解。

表达式分成两类。

不含变数或未知数的表达式，称为代数表达式。共含n个不同变数，称为n元代数表达式。

用专用字符串 ，f（a，b，c）表示三元代数式，前一个字母不同（区别大小写。）表示不同的表达式。

f（x），F（x），表示不同的一元代数式。

f（x），f（a）。表示在同一个代教式中，用a代换了x。

f（5）表示x=5时代数之值，是一个不含变量的表达式，称为算术表达式。既表示一个表达式，又表示一个数。

一元方程式，用等号把两个一元代数式（包括多个常数）连接起来的字符串，称为一元方程式。这时，其中的变数又可称为未知数。

f（a）=g（a），f（x）=g（x）。是同样的方程式。

f（x）=g（x）与f（x）=g（x）十0

是同解方程。根据减法定义，同解变形为f（x）-g（x）=0。

故方程式的最简写法，F（x）=0。没a是一个常数，则F（a）也是一个常数。当这个常数计算出来为0时，即当，F（a）=0相等关系成立时，

则a称为方程式F（x）=0的解。也可称为方程的根。根据前述同解变形法则，用新专用字符，可陈述如下：

方程f（x）十g（x）=h（x）同解于

f（x）=h（x）一g（x）。

方程f（x）一g（x）=h（x）同解于

f（x）=h（x）十g（x）。

可用汉语言陈述为，等式左右可移项，移加作减，移减作加。都是同解变形。

当这一项是一个表达式时，要先按同解变形法则，加上括号后再移项。

从形式上看，等式两端，同加或同减一个数，是同解变形。这个数可放宽为两端同加一个恒等式的两端。

如果，两端同加一个方程式的两端，或者说，两个方程成两端分别相加。这时，新方程可能增根，不会减根。

证明如下：

f（x）=0 （1）

g（x）=0 （2）

f（a）=b≠0。g（a）=一b。a不是两个方程的根。

f（a）十g（a）=b一b=0。

a为方程f（x）十g（x）=0的根了。

当方程一端是两个表式相乘除时，其中一个不可能为0，

f（x）*g（x）=h（x）则与

f（x）=h（x）/g（x），g（x）≠0同解。

f（x）/g（x）=h（x），则与

f（x）=h（x）*g（x），g（x）≠0同解。

这里移动的表达式，也要先添括号再移动。

也可说成，等式两端同乘或同除一个非0之数，方程是同解变形。两个方程，两端非0时，两端相乘除也不一定是同解变形。

解方程，X+X÷3=8

解，为去分母，需要乘一个3，这个3只好两端同乘。

3x（X十X÷3）=3X8

3xX十X=24

4xX=24

X=24/4=6。

又解，设X=3xa，a=X÷3，代入原方程得 3xa+a=8

4xa=8

a=8÷4=2

X=3x2=6。

解方程 X+3=1

解，X=1一3。

在自然数范围之内，无解。

解方程 3一X=2，

解，3=2十X，

3一2=X

X=1。

根据减法定义，可直接得

3一2=X

（2与X都是加数，3是和数。）

X=1。

下一个解法，效率更高！

解方程（X一2）（X一5）=0

解。除以（X一5），

X一2=0，X=2。

这里X一5可能为0。不是同解变形。

可先增加一个条件，

当X一5≠0时同除以（X一5）

得X一2=0， X=2。

然后，再加一个条件，为前所加条件的全面否定。

当X一5=0时，得X=5。

这个方程的解是X=2或X=5。

另一解法利用axb=0则a=0或b=0。而且，逆过来也直。

可简写如下。

解，（X一2）（X一5）=0 <一>

X一2=0或X一5=0

X=2或X=5。

二元方程组的概念。

由二元表达式组成的等式，称为二元方程式。都可写成f（x，y）=0。例如

x十2y一6=0，就是一个二元方程。它的解，是由两个有序常数来表示。例如x=2且y=2时，代入，得

2十2X2一6=2十4一6=0。就说

（2，2）是方程的一组解。

（6，0）代入得6十0一6=0。又是一组解。

如果，把方程同解变形为

x=6一2y，则可得。

y=0，x=6；y=1，x=4；

y=2，x=2；y=3，x=6；

在自然数范围内，就只有这三个组解了。

在整数范围内。x，y都可取负数。

y=4，x=一2；y=一1，x=8；

…有无数多组解。

在有理数范围内，解比整数范围内更多，还是无数多组解。在实数范围内也是无数多解。

一般说法，一个二元方程有无数多组解。

也可无解，例如0Xx+0Xy=1，就是无解=元方程式。

也可以是恒等无式。例如

（x+y）（x-y）=x²一y²

左=x（x一y）十y（x一y）

=x²一xy一y²十xy一y²

=x²一y²。

方程同解变形为

x²一y²=x²一y²。移项到同一侧得

x²一x²一y²+y²=0

0=0。

当解方程出现了，常数=常数。这时的方程式，实际上就是垣等式了。也就是说。方程式不存在非解对象时，方程式就是恒等式了。

用同解变形也可用于证明恒等式。

两个二元方程式。当一组解。既是其中一个之解，又是另一个之解。是可能的。

把两个方程组联立起来。数学专用语言，表示如下。

f（x，y）=0 且 g（x，y）=0。

或者

f（x，y）=0 （1）

｛

g（x，y）=0 （2） 。

解方程组的方法。

当二元方程组中，有一个是一元方程式时，先解出一元方程之解，把解再代入另一个方程中，转化为一元方程。再求得另一个未知数之值。从而获得方程组的一组解。

例，X十2Y一2=0 （1）

且，2X一4=0。 （2）

解，由（2）得2X=4

X=4÷2=2

代入（1），2十2Y一2=0，

Y=0。

方程组的解（2，0）。

当两个方程都是一元方程时。分别求出解。

如果是两个未知数时。两个方程的解集中，不同未知数，各取一个，配成一对才是一组解。所有可能的不同配法，都要找完。

例，（X一2）（y一3）=0，（1）

且（X一4）（y一5）=0，（2）

解，由（1）得X=2或y=3。

由（2）得 X=4或y=5

方程组的解（2，5）或（4，3）。

如果是一个未知数时。只有相同的解，才是方程组的解，可能无解。

例，X一2=0（1）

且，3X=9 （2）

解，由（1）得X=2，

由（2）得X=3。

此方程组无解。

当两个方程都是两个未知数时。就得设法，在不失根可增根的等式变形法则下。去获得一个只含一个未知数的新方程（称为，消去一个末知数）。与原方程之一组成新方程组。这个新方程组，与原方程组，才是同解的。这样的等式变形，对方程组才是同解变形。

当两个方程。两端对应相加减。可增根。如果能转化为一元方程。求出解，再代入原方程组之一再求出解，配对成方程组之解。就不会增根了。这种解方法，称为加减消元法。

代入消元法。从一个方程中，把一个未知数，看成己知数。把另一未知数解出来。代入另一个方程。新方程就只有一个未知数了。就转化为方程组中，有一个为一元方程了。

当解方程组时。出现了恒等式的结果。就是形式上不同的方程。实际是同一个程。

解应用题时。有已知条件重复使用多次。又有己知条件没用上。解方程时，就可出现方程变成恒等式，去用上这些漏用条件，另建方程。就可解决了。

解应用题，列方程时，是根据相等关系成立去建立等式。一般都会是方程有解的。随意取两个表达式中等号连接起来，这样获得的方程就可能无解。故解方程时，要求出所有解之外，还要去证明无解。对解方程组也是同样要求。

比，比例式 与 分数，分数表达式。

在自然数范围之内。两数进行除法运算，经常除不尽。如果，不扩展数集。如何用数学语言陈述这种关系？

a÷b，cb÷b=c。于是根据除法对加法的分配律。可得以下恒等关系:

a÷b=（cb十a一bc）÷b（0拆项）

设d=a一bc，根据分配律，

a÷b=cb÷b十（a一bc）÷b

a÷b=c十d÷b。为了使表等式形式唯一，规定: d<b，就不再继续计算了。这个等式称为余式定理。

更简化一下，不论是否除尽。a÷b表示为a：b。

a：b不表示一个新数。只作为数学之某种表达方式出现。

a：b=4：6。并不一定表示a=4且b=6。而是a：4←→4b=6a。

4b=6a←→2b=3a←→a/4=b/6←→

a：b=2：3。

称为:内项之积等于外项之积。

a：b：c=2：3：4=2n：3n：4n。

→a：b=2：3；b：c→3：4；

a：c=2：4=1：2。

当学会等分之后，a：b=2：3，相当于a2等分之一=b三等分之一。学了分数之后。a：b直接等于分数a/b。分数之整体1为b，a是b的a/b。

这样一来，就可两数之比，改变为一个有理数之值了。

a÷b=a/b。以分数为商了。

在有理数范围内，进行运算时。所有分数之整体1，统一为自然数之单位1。

当明确了各分数的单位数的题目，各整体单位不同的分数间，不得进行运算。要通过绝对量相等，去改变成同一单位。

a÷b=a/b。b为整体单位1。a是b的a/b。

b÷a，用分数相对量进行=1÷（a/b）=b/a。

当一个分数倒数之后，整体1变成分母所对应之整体了。

例，甲是乙的a/b，1为乙所对整体。

乙是丙的c/d。1为丙所对整体。这两个分数不能直接相除。要先换成同一整体1。同时涉及的是乙。可使乙成为公共整体。

解，丙是乙的d/c，1为乙所对整体。甲/丙=a/b÷（d/c）=a/bx（c/d）

=（ac）/（bd），丙为1。甲是丙的（ac）/（bd）。

丙是甲的（bd）/（ac）。

是用份数之和相等，还是直接使用分数来计算。都行得通。但是，不要混合使用为宜！

用数学语言表示变数之变化规律。

排好的一例数。例如:

2，4，6，8，10….…，你为一个数列。从左向右，位置编号为

1，2，3，4，5….…。

然后说，此数第一项是2，第2项是4，第三项是6，第4项是8，第5项是10。发现一个规律。每一项之值，都是编号数的二倍， 第n项之值是2n。这个表达式所表示数，就是第

n项之值。称2n这个表达式，为这个数列的多变化规律。

又称，数列2，4，6，8，10……的公项公式为2n。

专用数列之数学语言，用一个字符，例如a，表示数列各项之值。具体哪一项之值，用再用编号数n，与a和n组成一个字符串a₁，a₂，a₃…an…表示。an=2n。就表示出这个数列的通项公式，

例，己知数列an=2n一1。写出前三项。

解a₁=2X1一1=1

a₂=2x2一1=3，

a₃=2x3一1=5

这个数列，还有另一个形式的规律。

a₂一a₁=3一1=2

a₃一a₂=5一3=2

an一a（n一1）=2n一（2n-1）=2

相邻两项之差为常数2。

这个规律称为数列的递推公式。

数列bn=2n。求递推公式。

解，bn一b（n一1）

=2n一2（n一1）=2

以上两个数列，又是两个不同数列。就是第一项不同。

称为初始条件不同。递推公式相同的两个不同的数列。

数列的通项公式，可由初始条件与递推公式共同决定。

只有前几个初始条件。例如1，2，3…。可以有不同的递推空式，

一，1，2，3，4，5…

an=a（n一1）十1，后一项等于前一项加一。

二，1，2，3，5，8…

an=a（n一2）十a（n一1）。后一项等于前两项之和。

初始条件相同的数列相同，递推公式可以不同。通项公式也不同。存在无数多不同解。

逆之。通项公式己知时。递推公式与初始条件确定。

在高中。数学中，有专章“数列”。

在大字数学中，也有专章“级数”（项数无限的数列。

小学应适可而止。学点基本知识，不介绍难题为好！

已知初始条件去求通项公式。有无数解，应认学生知道。不太难的前题下。会求出一个通项公式。或者，找出一个递推公式。再去多写出一两项之值。即可以了！

数字矩阵中找出变化规律。就不要涉及了！

小学没有定义代教n次多项式。n²都没有教学。通项公式an=an²+bn+c的数列，就不要涉及了。即相邻两项之差是等差数列之类的题目，免了吧！

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