更新时间：作者：小小条
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一、函数的核心定义与三要素
1. 函数的定义
设 A、B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x)，x∈A。
2. 函数的三要素（判断两个函数是否相同的依据）
定义域（A）：自变量 x 的取值范围，是函数的 “输入” 范围。
常见限制：分式分母不为 0；偶次根式被开方数≥0；对数的真数 > 0 且底数 > 0、≠1 等。
对应关系（f）：描述 x 如何转化为 y 的规则，如 “平方”“取倒数” 等。
值域（B 的子集）：函数值 y 的取值范围，是函数的 “输出” 范围，由定义域和对应关系共同决定。
关键结论：两个函数相同，当且仅当定义域、对应关系完全一致（值域会随之确定，无需单独比较）。
二、函数的表示方式（3 种核心形式）
三种表示方式各有优缺点，解题时需根据需求灵活选择或结合使用。
表示方式 形式 优点 缺点 适用场景
解析法 用数学表达式表示（如 y=2x+1，y=x²-1） 1. 简洁严谨，便于计算、求导、推理论证；
2. 能精确反映对应关系。 1. 抽象，不够直观；
2. 部分实际问题难以用表达式表示。 理论分析、公式推导（如求函数的单调性、最值）
列表法 用表格列出 x 与 y 的对应值 1. 直观，可直接读取对应值；
2. 无需计算，使用便捷。 1. 只能表示有限个对应关系；
2. 无法反映整体变化趋势。 数据统计、离散函数（如银行利率表、三角函数值表）
图像法 用平面直角坐标系中的曲线表示（x 为横坐标，y 为纵坐标） 1. 最直观，能清晰展示函数的单调性、奇偶性、最值等性质；
2. 便于观察变化趋势。 1. 精度有限，无法精确读取所有值；
2. 复杂函数图像绘制难度大。 性质分析、直观判断（如判断函数零点个数、比较函数值大小）
三、特殊函数的表示（高频考点）
1. 分段函数
定义：在定义域的不同区间上，有不同对应关系的函数，是一个函数（非多个函数）。
示例：
f(x)={
x+1,
−x,
x≥0
x<0
（绝对值函数的分段形式）。
关键要点：
分段处理：求函数值、定义域、值域时，需按 x 所在区间对应规则计算。
定义域合并：最终定义域是各区间的并集，不能重复或遗漏。
2. 复合函数
定义：由两个函数复合而成，设 y = f (u)，u = g (x)，则 y = f [g (x)] 称为复合函数，其中 u 是中间变量。
示例：f (x)=2^x，g (x)=x+1，则复合函数 f [g (x)]=2^(x+1)。
关键要点：
定义域：复合函数的定义域需满足 “内层函数 g (x) 的值域⊆外层函数 f (u) 的定义域”。
分解原则：分析复合函数性质（如单调性）时，需先分解为内层、外层函数，再分步判断。
四、常见易错点总结
忽略定义域优先原则：求解函数问题（如求值域、判断奇偶性）时，必须先确定定义域，再进行后续分析。例如，y = x 与 y = (√x)² 不是同一个函数，因后者定义域为 x≥0。
分段函数 “分段不分离”：求分段函数的最值、零点时，需分别计算各区间的结果，再综合比较，不能遗漏某一区间。
复合函数定义域理解错误：认为 “y = f [g (x)] 的定义域是 y = g (x) 的定义域”，实际需结合外层函数的定义域限制内层函数的取值。
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