更新时间：作者：小小条
曲线 | 方程 | 参数关系
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椭圆 | x²/a² + y²/b² = 1 | c²=a²-b² |
(a>b) | y²/a² + x²/b² = 1 | e=c/a (0<e<1) |
双曲线 | x²/a² - y²/b² = 1 | c²=a²+b² |
(横轴) | y²/a² - x²/b² = 1 | e=c/a (e>1) |
抛物线 | y²=2px | 焦点(p/2,0) |
| x²=2py | 准线y=-p/2 |
核心公式组：
1. 离心率统一律： - 椭圆：**e=√(1-b²/a²)** - 双曲线：**e=√(1+b²/a²)** - 抛物线：**e≡1** 2. 焦点三角形公式： - 椭圆：**S=b²·tan(θ/2)** - 双曲线：**S=b²·cot(θ/2)** 3. 弦长公理： **|AB|=√(1+k²)·|x₁-x₂| = 2√[ (1+k²)(r²-d²) ]** （d为圆心到直线距离）
公式快查表：
问题类型 | 武器公式 | 实战示例 |
求切线 | 椭圆：x₀x/a²+y₀y/b²=1 | 过(2,0)作x²/4+y²=1切线 → 2x/4=1 ⇒ x=2 |
求焦点弦 | 抛物线：|AB|=2p/sin²θ | y²=8x弦θ=30°→|AB|=32/(0.5)²=128 |
离心率最值 | 椭圆：e=√(1-(b/a)²) | b/a→0时e→1（最扁） |
轨迹方程 | 设点**M(x,y)**列等式 | 到(2,0)距离=到x=4距离 → 抛物线 |
‼️ 椭圆忽略a>b → 当a<b时是竖椭圆（长轴在y轴） ‼️ 双曲线渐近线 → 必写**y=±(b/a)x**（非±(a/b)x） ‼️ 抛物线焦点 → **y²=2px**焦点在**(p/2,0)**（非(p,0)） ‼️ 弦长公式 → 联立后先验证**Δ>0**（确保相交）
Step1：识别曲线类型 → 看方程标准形式 Step2：锁定核心参数 → a,b,c,p,e Step3：选择武器公式： • 求弦长 → 弦长公式 • 求面积 → 焦点三角形 • 求轨迹 → 定义法/坐标法 Step4：代值计算 → 注意参数范围
典例速演（2024全国卷）
双曲线 x²/9 - y²/16 =1，过焦点弦倾角60°，求弦长
解：
❶ a=3,b=4,c=5 → 焦点(5,0)
❷ 直线：y=tan60°(x-5)=√3(x-5)
❸ 联立：
x²/9 - [3(x-5)²]/16 =1
→ 16x² - 27(x²-10x+25) =144
→ -11x²+270x-675=0
❹ |AB|=√(1+3)·√[(270/11)²-4×675/11] = 2×√(656.25)≈51.2
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