更新时间：作者：小小条
我们前面已经讲过齐次化、定比点差等固定方法技巧，都可以用来处理两直线斜率的关系问题。上一讲又用极点极线思想解决定值问题，其实质也是在处理两线的斜率。在处理过程中，还介绍了一种非常规方法，就是“三点共线+构造对偶式”，指出该方法在有更好解决方案之前，不要轻易使用。
但有没有什么问题是该方法所擅长的呢？有，就是所谓的“蝴蝶模型”一类的题目。
蝴蝶定理（Butterfly Therorem）是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一，这个命题最早出现在1815年，由W.G.霍纳提出并证明。它的原意是这样的，如下图。
M是圆O的弦AB的中点，过点M作两条弦CD、EF，连接DE、CF交AB于P、Q两点，则M是线段PQ的中点。在图中，DEMFC构成的图形如同一支翩翩起舞的蝴蝶，故得此名。
实际上，上述在圆中得出的结论，如何推广到椭圆、双曲线、抛物线等其它圆锥曲线中，同样成立。
下面，我们举一个例子，该题本是2021年全国高中数学联赛重庆预赛的11题，但在2023年，又被武汉江岸区作为高三期末考试的压轴题大题第21题原样出了，是一个典型的蝴蝶模型题目。
分析：第一问略过，我们直接看第二问。这个题看起来也是关于两直线斜率的关系，但是是商的关系。用齐次化、定比点差解决起来都不太顺手。我们直接步入本讲主题，用上一讲中的配角“三点共线+构造对偶式”作为主角，最后再从极点极线视角去观察一下，看能不能简化一下。
在讲之前，先把三点共线的一些必要背景知识再回顾一下。
我们再来极点极线视角看一个这个问题，很显然，D点可以看作是极点，则根据椭圆方程与D点坐标，很快知道它所对应的极线是垂直于x轴的直线，其横坐标恒为a的平方。
如果我们这条直线上任取一点，则MN的斜率就由该点与左焦点所决定了，这个斜率由所取点的纵坐标d决定。这条直线与椭圆联立，两个解就是M、N两点坐标，同样，它们的坐标也取决于d。由M、N两点坐标可以确定MP、NQ两条线的方程，因为它们都过了D点。这两个方程与椭圆联立，再结合韦达，可以将P、Q两点也用d表示出来。
这样，所有东西除了有椭圆的a、b参数，都只含变量d，理论上斜率之比会将d消去，只与椭圆的a或b有关。
这是从极点极线思想出发的解题思路，但中间肯定还是要用到一些技巧，因为这道题不像前面一讲中的例子，曲线参数都是已知的，应该还是会通过这讲中的三点共线等方法，对一些变量进行代换，才能简单地将所有坐标用a、b、d表示 。
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