已知：AB= √2， BC=4, ∠ABC=45°. ∆ACD是等腰直角三角形，∠DAC=90°，求BD的长度。

图1

初步分析

这个题目的前两步的思路其实算是比较清楚的。

第一步：因为∆ABC中有两边夹角，所以很容易把AC给算出来。第二步：因为∆ACD是等腰直接三角形，所以很容易把CD算出来。

挑战点在于第三步。

第三步是什么呢？如果顺着第一、二步，就应该把∠ACB给算出来。这个角显然是一个非特殊角，但是可以算出三角函数值。如果能用三角函数和差化积的话，其实已经可以计算出BD的值了。但这一部分属于高中数学的范畴了。除非某个学生数学实力比较强，能手动推导三角函数的和差化积公式。我在前面的一个贴子有介绍。参看：
https://www.toutiao.com/article/7572053039218000436/?log_from=
42d75dc87a9bb_1764923559960。

但是对初中生而言，可以用纯几何方法来解决。用的是就是旋转。依据是什么呢？因为∆ACD是等腰直角三角形。

在进入解法之前，把一些值给标出来。

图2

解法一：（适合于高中，仅供参考）

如图2。在∆ABC中使用余弦定理，得到：

故： AC = √10.

作AE⊥BC于点E。如图3：

图3

易得：

AE=BE=1, EC=3.

于是：

最后，在∆BCD中使用余弦定理，得到：

这里:

cos∠BCD = cos(∠ACB + 45°) = cos∠ACB·cos45° - sin∠ACB·sin45°

= √5 / 5.

代入得到：

故：

解法二：（适用于初中）

初中阶段，还是得使用纯几何的方法。如之前的分析，我们考虑使用旋转方法来解。

将∆ABC以点A为顶点，逆时针旋转90°，至∆AED位置。如图4。

图4

观察一下：

因为∆ABC ≌ ∆AED，可得：

AB=AE=√2DE=BC=4∠AED=45°

因为是逆时针旋转90°, 故：∠BAE=90°.

故：∆ABE为等腰直角三角形。

即：∠AEB = ∠AED = 45°

又因为：∠ABC=45°, 故：E点刚好落在BC上面，且：DE⊥BC.

因为：BE=2， BC=4, 故：E点为BC的中点。

于是：DE垂直平分BC.

即：BD = CD = 2√5.

解毕。

版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除