更新时间：作者：小小条
应用场景
准研究生们，你们好！
考研数学中，行列式是线性代数的基础考点。本节不但介绍了行列式的定义，还给出了一些简单行列式的计算方法。同时，也介绍了行列式相关的知识，如：逆序数，奇排列，偶排列等。相信阅读完本文后，你对行列式一定会有一个全新的认识。
概念说明
1.n阶行列式一定有n行n列(方阵)，完全展开后有n!项，行列式算出来后是一个数。
2.从n阶行列式的展开结果，来看二阶,三阶行列式。
由文章开头的知识，我们知道，二阶,三阶行列式计算时，用“主对角线减副对角线”。
下面我们用n阶行列式的展开结果验证一下。
(1)验证二阶行列式
(2)验证三阶行列式
(1)(2)说明了:二阶,三阶行列式计算时，用“主对角线减副对角线”是没有问题的。但是，四阶及其以上的行列式不可以简单的用“主对角线减副对角线”来计算。例如:
可以看到，对于这个特殊的四阶行列式，副对角线算出来，前面的符号是正的。这已经违背了“主对角线减副对角线”的原则。因此：四阶及其以上的行列式不能用“主对角线减副对角线”来计算。
3.行列式的来源
行列式是怎么来的呢?难道是数学家吃饱了没事干，弄出来一个行列式，让我来算吗?当然不是。
回想一下，如果我们需要解下面这个二元的线性方程组，我们通常会怎么计算呢?
通常的步骤如下：
(1)要想先解出x1，就要消去x2。则(1)×a22-(2)×al2，可得
(2)同理,若想先解出x2，就要消去x1。则(2)×al1-(1)×a21，可得
可以看到，我们在解这个线性方程组时，加减消元的过程，对应的就是行列式的计算过程。
同时，对于这个二元线性方程组，在有唯一解的情况下,只需求出下面三个行列式，即可解出x1和x2。
对于3阶...甚至n阶行列式，也是类似的。因此，行列式的一个来源，便是从解n元线性方程组的过程中提炼出来的：n阶行列式，对应n元线性方程组的系数；行列式的计算过程，对应加减消元解方程组的过程。
4.排列,逆序,逆序数的性质
(1)1,2,3,....,n称为自然排列，它的逆序数为0,因此是一个偶排列。
(2)n,n-1,n-2,...,2,1的逆序数为(n-1)+(n-2)+...+1=n∙(n-1)/2，这个排列可能是奇排列，也可能是偶排列。
(3)对换改变排列的奇偶性。
观察n阶行列式的完全展开式，我们只需知道j1j2...jn这个排列的奇偶性，便知道该项是正是负了，不必一定要算出排列的逆序数。下面我们就来讨论下排列的奇偶性:
对换：就是把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动。
对换得到的新的排列和原来的排列的奇偶性相反。即：经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列则变成了奇排列。
如：1,2,7,4,5,6,3,8这个排列，不用计算逆序数，即可知道它是奇排列。因为1,2,3,4,5,6,7,8是偶排列，将3和7对换，就变成了奇排列。同理可知1,4,7,2,5,6,3,8是偶排列(偶排列经过两次对换)。
(4)任何一个排列都可以经过一系列对换，变成自然排列。
这给了我们一个快速判断排列奇偶性的方法：因为自然排列是偶排列，而对换一次，排列的奇偶性变一次。
则:一个排列若经过偶数次对换，变成了自然排列，则它是偶排列；若经过奇数次对换，变成了自然排列，则它是奇排列。如15432这个排列，将5和2对换得12435，将4和3对换得12345。经过偶数次(2次)对换，则15432是偶排列。
(5)在全部n阶排列中，奇排列和偶排列各占一半。
我们知道，n阶行列式，展开有n!项，则结合“n阶排列中，奇排列和偶排列各占一半”可知：n阶行列式展开后，有n!/2项是正的；有n!/2项是负的。如3阶行列式展开后，有3!/2=3项正的，3项是负的。
5.特殊行列式的计算
(1)主对角线某一侧全为0的行列式
若主对角线的上侧全为0(下三角行列式)，则得到下面的行列式:
用上面相同的方法可以证明:
简单来说就是：主对角线某一侧全为0的行列式等于主对角线元素的乘积。
(2)副对角线某一侧全为0的行列式
若副对角线的下侧全为0，则得到下面的行列式:
用上面相同的方法可以证明:
简单来说，就是：副对角线某一侧全为0的行列式等于(-1)的“n(n-1)/2次方”，乘以所有副对角线元素的乘积。
6.经典例题
(1)分类讨论思想
(2)完全展开式的特点：不同行不同列
注意：在学*了行列式的性质后，本题可以先化简，再用上面的方法，会更简单。
记忆方法
本节核心内容可以用下面几句话简单概括：
(1)二阶,三阶行列式计算，用“主对角线减副对角线”,四阶及其以上不可如此计算。
(2)n阶行列式完全展开后，是所有不同行不同列的n个元素乘积的代数和。
(3)主对角线某一侧全为0的行列式等于主对角线元素的乘积。
(4)副对角线某一侧全为0的行列式等于(-1)的“n(n-1)/2次方”，乘以所有副对角线元素的乘积。
回眸一笑
考研数学线性代数的六大部分，你还记得吗？
如果你了然于胸，就为今天的收获开心地笑一个！
如果忘了，就赶快去看看相关的内容，巩固一下吧！
考研杂谈
考研数学中，线性代数的分值只占考研数学总分的五分之一。但是它的内容是相当丰富的。如果你想事无巨细，每个知识点都推敲一番，恐怕未必有这么多的时间。鉴于这种情形，我们一定要理解为主，化繁为简，重点突出。
《史记》中便有类似的例子：我们都知道，秦国重用商鞅之后，基本遵循的是以法治国。但秦帝国的法律多而严苛：几个人聚在一起议论国事，死罪；邻居犯法，你也要被株连。陈胜吴广就是因为没有按时到达戍守的地方，就是死罪，因此索性就起义造反了。总而言之，秦帝国的法律在各个方面都有涉及，以至于李斯说：商君之法，刑弃灰于道者。就是说，在路上倒点灰也要被判刑。面对如此细致入微，纷繁复杂的法律，后来的刘邦怎么处理的呢?
刘邦进入关中之后，便和关中百姓约法三章：杀人者偿命；伤人的按照情节轻重定罪；偷人东西的也依据情节轻重定罪。仅此而已。果然，百姓对此感恩戴德，都想让刘邦在关中称王。这为刘邦后面战胜项羽奠定了基础。刘邦的做法就是“化繁为简，重点突出”的例子。试想，若是刘邦拿着秦朝的法律，一条一条的去判断是该保留，还是该废除，则依照他的水平，怕是没有汉高祖了。因为，可能他还没看完几条秦国的法律，项羽已经打来了。
今日例句：
The repeated failures really frustrated him.
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