柯西不等式六大经典题型详解

掌握这些题型，你就能攻克绝大多数相关的题目。每种题型都有其独特的特征和解题密码。

题型一：直接求最值型

这是最基础、最常见的题型。它的特征非常明显：题目条件中直接给出了平方和的形式，要求求解一个相关一次式的最值。

解题密码：识别出“平方和”与“一次式”后，直接套用柯西不等式的标准形式即可。

题型二：逆向求最值型

这个题型正好与第一种相反。条件是某个一次线性关系式固定不变，而要求的是平方和的最值。

解题密码：需要将已知的线性式作为柯西不等式的一部分，通过不等式反向解出平方和的取值范围。

题型三：系数匹配型

这类题目的条件中的平方和带有不相等的系数，看起来不那么“标准”。

解题密码：核心在于“标准化”。通过变量代换或者提取公因数的方法，将条件转化为标准的平方和形式，从而让柯西不等式能够直接应用。

题型四：根式求最值型

这种题型要求求解带根号的表达式的最值，形式如 \sqrt{a} + \sqrt{b} 。

解题密码：关键在于“构造”。将每个根号项巧妙地看作“1乘以根号”，从而满足柯西不等式的结构。

题型五：分式求最值型

这类题目要求解分式和的最值，是难度较高也是非常重要的题型。

解题密码：核心技巧是“配对”。将条件中的整式（通常是和的形式）与目标分式相乘，构造出柯西不等式所要求的“和与和”相乘的形式。

题型六：证明不等式型

这种题型不直接求值，而是要求证明某个不等式成立，常见于竞赛或拓展练*。

解题密码：关键在于“观察”和“放缩”。需要敏锐地识别出题目中的不等式结构与柯西不等式的联系，然后选择合适的两组数进行放缩。

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