更新时间：作者：小小条
动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题 .
解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，
解题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系．
【例题】如图所示，在直角坐标系中，点 A，B，C 的坐标分别为 (-1，0)，(3，0)，(0，3)，
过 A，B，C 三点的抛物线的对称轴为直线 l，D 为对称轴 l 上一动点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标；
(3) 以点 A 为圆心，以 AD 为半径作 ⊙A．
① 证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与 ⊙A 相切；
② 写出直线 BD 与 ⊙A 相切时，D 点的另一个坐标．
【思路点拨】
(1) 根据 A、B 两点在 x 轴上，可设交点式求抛物线的解析式．
(2) 要 AD + CD 最小，根据两点之间线段最短，可判定 D 点位置，从而求出点 D 坐标．
(3) 要让 BD 与 ⊙A 相切，只需证 AD⊥BD，由圆的对称性，可直接写出 D 点另一个坐标．
【答案与解析】
(1) 设抛物线的解析式为 y＝a( x + 1 )( x - 3 )．
将 C(0，3) 代入上式，得 3＝a( 0 + 1 )( 0 - 3 )．
解得 a＝-1．
∴ 抛物线的解析式为 y＝- ( x + 1 )( x - 3 )，
即 y = - x2 + 2x + 3．
(2) 连接 BC，交直线于点 D′．
∵ 点 B 与点 A 关于直线 l 对称，
∴ AD′＝BD′．
∴ AD′ + CD′＝ BD′ + CD′＝BC．
由 “两点之间，线段最短” 的原理可知：此时 AD′ + CD′ 最小，点 D′ 的位置即为所求．
设直线 BC 的解析式为 y＝kx + b，
由直线 BC 过点 (3，0)，(0，3)，
∴ 直线 BC 的解析式为 y＝- x + 3．
∵ 对称轴为 x＝1．将 x＝1 代入 y＝- x + 3，得 y＝-1 + 3 ＝ 2．
∴ 点 D 的坐标为 (1，2)．
(3)
① 连接 AD．
设直线 l 与 x 轴的交点为点 E．
由 (2) 知：当 AD+CD 最小时，点 D 的坐标为 (1，2)．
∵ DE＝AE＝BE＝2，
∴ ∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴ ∠ADB＝90°．
∴ AD⊥BD．
∴ BD与 ⊙A 相切．
② (1，-2)．
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