更新时间：作者：小小条
济南一模文科数学试题及答案大全
一、单项选择题
1. 已知集合\(A = \{x | -1 < x < 2\}\)，\(B = \{x | 0 < x < 3\}\)，则\(A\cup B =\)（ ）
A. \((-1, 3)\)
B. \((-1, 0)\)
C. \((0, 2)\)
D. \((2, 3)\)
答案：A
2. 函数\(y=\log_{2}(x - 1)\)的定义域是（ ）
A. \((1, +\infty)\)
B. \([1, +\infty)\)
C. \((0, +\infty)\)
D. \([0, +\infty)\)
答案：A
3. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：D
4. 已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，若\(a_{3}+a_{5}=8\)，则\(S_{7}=\)（ ）
A. 28
B. 32
C. 56
D. 24
答案：A
5. 函数\(y = \sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（ ）
A. \(\frac{\pi}{2}\)
B. \(\pi\)
C. \(2\pi\)
D. \(4\pi\)
答案：B
6. 已知\(a = 0.3^{2}\)，\(b = 2^{0.3}\)，\(c=\log_{2}0.3\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（ ）
A. \(c < a < b\)
B. \(a < c < b\)
C. \(b < c < a\)
D. \(c < b < a\)
答案：A
7. 已知双曲线\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > 0,b > 0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则该双曲线的离心率为（ ）
A. \(\frac{5}{4}\)
B. \(\frac{5}{3}\)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. \(\frac{3}{4}\)
答案：A
8. 若直线\(l\)过点\((-1,2)\)且与直线\(2x - 3y + 4 = 0\)垂直，则直线\(l\)的方程是（ ）
A. \(3x + 2y - 1 = 0\)
B. \(3x + 2y + 7 = 0\)
C. \(2x - 3y + 5 = 0\)
D. \(2x - 3y + 8 = 0\)
答案：A
9. 从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)这\(5\)个数中随机抽取\(2\)个数，则这\(2\)个数的和为偶数的概率是（ ）
A. \(\frac{1}{5}\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{4}{5}\)
答案：B
10. 函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+1\)的单调递减区间是（ ）
A. \((-\infty,0)\)
B. \((0,2)\)
C. \((2, +\infty)\)
D. \((-\infty,0)\cup(2, +\infty)\)
答案：B
二、多项选择题
1. 下列函数中，是偶函数的有（ ）
A. \(y = x^{2}+1\)
B. \(y=\frac{1}{x^{2}}\)
C. \(y = x^{3}\)
D. \(y = |x|\)
答案：ABD
2. 已知\(a\)，\(b\)为正实数，则下列不等式成立的是（ ）
A. \(\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\)
B. \(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)
C. \(\frac{b^{2}}{a}+\frac{a^{2}}{b}\geq a + b\)
D. \(a + b+\frac{1}{\sqrt{ab}}\geq3\)
答案：ABCD
3. 已知圆\(C:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=25\)，直线\(l:(2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0(m\in R)\)，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线\(l\)过定点\((3,1)\)
B. 直线\(l\)与圆\(C\)可能相离
C. 直线\(l\)与圆\(C\)一定相交
D. 当\(m = 0\)时，直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长最短
答案：AC
4. 已知函数\(f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)\)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. \(\omega = 2\)
B. \(\varphi=\frac{\pi}{6}\)
C. \(f(x)\)的单调递增区间是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}],k\in Z\)
D. \(f(x)\)的图象关于点\((\frac{5\pi}{12},0)\)对称
答案：ABC
5. 已知椭圆\(C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，过\(F_{1}\)的直线交椭圆于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AF_{2}|+|BF_{2}| = 8\)，\(\triangle ABF_{2}\)的周长为\(12\)，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长为\(6\)
B. 椭圆的焦距为\(2\sqrt{5}\)
C. 椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
D. 椭圆的短轴长为\(4\)
答案：ACD
6. 已知数列\(\{a_{n}\}\)是等比数列，\(a_{2}=2\)，\(a_{5}=16\)，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列\(\{a_{n}\}\)的公比为\(2\)
B. 数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(1\)
C. 数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=2^{n}-1\)
D. 数列\(\{\log_{2}a_{n}\}\)是等差数列
答案：ABD
7. 已知函数\(f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x + 1\)，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数\(f(x)\)的极大值为\(\frac{8}{3}\)
B. 函数\(f(x)\)的极小值为\(-8\)
C. 函数\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上单调递增
D. 函数\(f(x)\)在\((3,+\infty)\)上单调递减
答案：ABC
8. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,-2)\)，\(\overrightarrow{c}=(m,1)\)，若\(\overrightarrow{c}\parallel(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\)，则\(m\)的值可能为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：AB
9. 已知函数\(y = f(x)\)的定义域为\(R\)，且满足\(f(x + 2)=-f(x)\)，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数\(y = f(x)\)的周期为\(4\)
B. 函数\(y = f(x)\)的图象关于点\((1,0)\)对称
C. 函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = 1\)对称
D. \(f(2024)=f(0)\)
答案：ABD
10. 已知点\(P\)是抛物线\(y^{2}=4x\)上的动点，点\(P\)在\(y\)轴上的射影是\(M\)，点\(A(4,6)\)，则\(|PA|+|PM|\)的最小值是（ ）
A. \(\sqrt{37}-1\)
B. \(\sqrt{37}-2\)
C. \(\sqrt{37}+1\)
D. \(\sqrt{37}+2\)
答案：AB
三、判断题
1. 若\(a > b\)，则\(ac^{2}>bc^{2}\)。（ ）
答案：错误
2. 函数\(y=\sin x\)在\([0,\pi]\)上是增函数。（ ）
答案：错误
3. 若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。（ ）
答案：错误
4. 若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（ ）
答案：错误
5. 等比数列\(\{a_{n}\}\)中，若\(a_{3}=2\)，\(a_{6}=16\)，则公比\(q = 2\)。（ ）
答案：正确
6. 函数\(y = \log_{2}(x^{2}+1)\)的值域是\([0,+\infty)\)。（ ）
答案：正确
7. 已知圆\(C:(x - 1)^{2}+(y - 2)^{2}=5\)，直线\(l:x + 2y - 3 = 0\)，则直线\(l\)与圆\(C\)相交。（ ）
答案：正确
8. 若\(a\)，\(b\)，\(c\)是三角形的三边，则\(a^{2}+b^{2}-c^{2}>0\)。（ ）
答案：错误
9. 已知函数\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)，则\(f(x)\)在\(x = 0\)处取得极大值。（ ）
答案：正确
10. 若\(A\)，\(B\)是互斥事件，则\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)。（ ）
答案：正确
四、简答题
1. 已知函数\(f(x)=x^{2}-2x + 3\)，求\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上的最大值和最小值。
答案：首先将函数\(f(x)=x^{2}-2x + 3\)进行配方，可得\(f(x)=(x - 1)^{2}+2\)。其对称轴为\(x = 1\)，开口向上。当\(x = 1\)时，\(f(x)\)取得最小值\(f(1)=2\)；然后分别计算区间端点的值，\(f(-1)=(-1)^{2}-2\times(-1)+3 = 6\)，\(f(2)=2^{2}-2\times2 + 3 = 3\)，比较可得最大值为\(6\)。所以\(f(x)\)在区间\([-1,2]\)上的最大值是\(6\)，最小值是\(2\)。
2. 已知等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}=5\)，\(a_{7}=13\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式。
答案：设等差数列\(\{a_{n}\}\)的公差为\(d\)，首项为\(a_{1}\)。根据等差数列通项公式\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)，由\(a_{3}=a_{1}+2d = 5\)，\(a_{7}=a_{1}+6d = 13\)。用\(a_{7}\)的式子减去\(a_{3}\)的式子可得：\(4d = 8\)，解得\(d = 2\)。把\(d = 2\)代入\(a_{1}+2d = 5\)，得\(a_{1}+2\times2 = 5\)，解得\(a_{1}=1\)。所以\(a_{n}=1+(n - 1)\times2 = 2n - 1\)。
3. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-1)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)以及\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角的余弦值。
答案：根据向量数量积的坐标运算公式，若\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)。所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times3+2\times(-1)=3 - 2 = 1\)。又\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{3^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{10}\)。设\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为\(\theta\)，根据向量夹角余弦公式\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}\)，可得\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\)。
4. 已知函数\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)，求函数的单调递增区间。
答案：根据正弦函数\(y = \sin u\)的单调递增区间是\([2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}],k\in Z\)。令\(u = 2x-\frac{\pi}{3}\)，则\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)。先解不等式\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{3}\)，得\(2k\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\leq2x\)，即\(2k\pi-\frac{\pi}{6}\leq2x\)，\(k\pi-\frac{\pi}{12}\leq x\)；再解不等式\(2x-\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，得\(2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\)，即\(2x\leq2k\pi+\frac{5\pi}{6}\)，\(x\leq k\pi+\frac{5\pi}{12}\)。所以函数\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的单调递增区间是\([k\pi-\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{5\pi}{12}],k\in Z\)。
五、讨论题
1. 讨论函数\(f(x)=x^{3}-3x\)的单调性和极值情况。
答案：首先对函数\(f(x)=x^{3}-3
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