更新时间：作者：小小条
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2018年天津市高考数学试卷（文科）
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00 分）设集合 A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜
2}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}
2．（5.00 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+5y 的最大
值为（ ）
A．6 B．19 C．21 D．45
3．（5.00 分）设 x∈R，则"x3＞8"是"|x|＞2"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则
输出 T 的值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5.00 分）已知 a=log3 ，b=（ ） ，c=log ，则 a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．（5.00 分）将函数 y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象
对应的函数（ ）
A．在区间[ ]上单调递增 B．在区间[﹣ ，0]上单调递减
C．在区间[ ]上单调递增 D．在区间[ ，π]上单调递减
7．（5.00 分）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，过右焦点且
垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线
的距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
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8．（5.00 分）在如图的平面图形中，已知 OM=1，ON=2，∠MON=120°， =2 ，
=2 ，则 的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0
二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分.
9．（5.00 分）i 是虚数单位，复数 = ．
10．（5.00 分）已知函数 f（x）=exlnx，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f′（1）的
值为 ．
11．（5.00 分）如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1﹣BB1D1D
的体积为 ．
12．（5.00 分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆
的方程为 ．
13．（5.00 分）已知 a，b∈R，且 a﹣3b+6=0，则 2a+ 的最小值为 ．
14．（5.00 分）已知 a∈R，函数 f（x）= ．若对任意 x∈[﹣3，
+∞），f（x）≤|x|恒成立，则 a 的取值范围是 ．
三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
15．（13.00 分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，
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160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2
名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 M 为事件"抽取的 2 名同学来自同一年级"，求事件 M 发生的概率．
16．（13.00 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 bsinA=acos
（B﹣ ）．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2A﹣B）的值．
17．（13.00 分）如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平
面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB=2，AD=2 ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
18．（13.00 分）设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，
公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求 Sn 和 Tn；
（Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值．
19．（14.00 分）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的右顶点为 A，上顶点为 B．已知
椭圆的离心率为 ，|AB|= ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 l：y=kx（k＜0）与椭圆交于 P，Q 两点，1 与直线 AB 交于点 M，
且点 P，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．
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20．（14.00 分）设函数 f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中 t1，t2，t3∈R，
且 t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列．
（Ⅰ）若 t2=0，d=1，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若 d=3，求 f（x）的极值；
（Ⅲ）若曲线 y=f（x）与直线 y=﹣（x﹣t2）﹣6 有三个互异的公共点，求 d
的取值范围．
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2018 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5.00 分）设集合 A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜
2}，则（A∪B）∩C=（ ）
A．{﹣1，1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{2，3，4}
【分析】直接利用交集、并集运算得答案．
【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，
∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，
又 C={x∈R|﹣1≤x＜2}，
∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}．
故选：C．
【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题．
2．（5.00 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z=3x+5y 的最大
值为（ ）
A．6 B．19 C．21 D．45
【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标
函数 z=3x+5y 的最大值．
【解答】解：由变量 x，y 满足约束条件 ，
得如图所示的可行域，由 解得 A（2，3）．
当目标函数 z=3x+5y 经过 A 时，直线的截距最大，
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z 取得最大值．
将其代入得 z 的值为 21，
故选：C．
【点评】在解决线性规划的小题时，常用"角点法"，其步骤为：①由约束条件画
出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验
证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．
3．（5.00 分）设 x∈R，则"x3＞8"是"|x|＞2"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由 x3＞8 得到|x|＞2，由|x|＞2 不一定得到 x3＞8，然后结合查充分条
件、必要条件的判定方法得答案．
【解答】解：由 x3＞8，得 x＞2，则|x|＞2，
反之，由|x|＞2，得 x＜﹣2 或 x＞2，
则 x3＜﹣8 或 x3＞8．
即"x3＞8"是"|x|＞2"的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件及其判定方法，是基础题．
4．（5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则
输出 T 的值为（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．
【解答】解：若输入 N=20，
则 i=2，T=0， = =10 是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5 不成立，
循环， = 不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5 不成立，
循环， = =5 是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5 成立，
输出 T=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本
题的关键．
5．（5.00 分）已知 a=log3 ，b=（ ） ，c=log ，则 a，b，c 的大小关系
为（ ）
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A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】把 a，c 化为同底数，然后利用对数函数的单调性及 1 的关系进行比较．
【解答】解：∵a=log3 ，c=log =log35，且 5 ，
∴ ，
则 b=（ ） ＜ ，
∴c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基
础题．
6．（5.00 分）将函数 y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，所得图象
对应的函数（ ）
A．在区间[ ]上单调递增 B．在区间[﹣ ，0]上单调递减
C．在区间[ ]上单调递增 D．在区间[ ，π]上单调递减
【分析】由函数的图象平移求得平移后函数的解析式，结合 y=Asin（ωx+φ）型
函数的单调性得答案．
【解答】解：将函数 y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为 y=sin[2（x﹣ ）+ ]=sin2x．
当 x∈[ ]时，2x∈[ ， ]，函数单调递增；
当 x∈[ ， ]时，2x∈[ ，π]，函数单调递减；
当 x∈[﹣ ，0]时，2x∈[﹣ ，0]，函数单调递增；
当 x∈[ ，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．
故选：A．
【点评】本题考查 y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换及其性质，是中档题．
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7．（5.00 分）已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，过右焦点且
垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线
的距离分别为 d1 和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（ ）
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．
【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线
y= ，即 bx﹣ay=0，F（c，0），
AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB 是梯形，
F 是 AB 的中点，EF= =3，
EF= =b，
所以 b=3，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 2，可得 ，
可得： ，解得 a= ．
则双曲线的方程为： ﹣ =1．
故选：A．
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【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
8．（5.00 分）在如图的平面图形中，已知 OM=1，ON=2，∠MON=120°， =2 ，
=2 ，则 的值为（ ）
A．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0
【分析】解法Ⅰ，由题意判断 BC∥MN，且 BC=3MN，
再利用余弦定理求出 MN 和∠OMN 的余弦值，计算 • 即可．
解法Ⅱ：用特殊值法，不妨设四边形 OMAN 是平行四边形，
由题意求得 的值．
【解答】解：解法Ⅰ，由题意， =2 ， =2 ，
∴ = =2，∴BC∥MN，且 BC=3MN，
又 MN2=OM2+ON2﹣2OM•ON•cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣ ）=7，
∴MN= ；
∴BC=3 ，
∴cos∠OMN= = = ，
∴ • =| |×| |cos（π﹣∠OMN）=3 ×1×（﹣ ）=﹣6．
解题Ⅱ：不妨设四边形 OMAN 是平行四边形，
由 OM=1，ON=2，∠MON=120°， =2 ， =2 ，
知 = ﹣ =3 ﹣3 =﹣3 +3 ，
∴ =（﹣3 +3 ）•
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=﹣3 +3 •
=﹣3×12+3×2×1×cos120°
=﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．
二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5分，共 30分.
9．（5.00 分）i 是虚数单位，复数 = 4﹣i ．
【分析】根据复数的运算法则计算即可．
【解答】解： = = = =4﹣i，
故答案为：4﹣i
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
10．（5.00 分）已知函数 f（x）=exlnx，f′（x）为 f（x）的导函数，则 f′（1）的
值为 e ．
【分析】根据导数的运算法则求出函数 f（x）的导函数，再计算 f′（1）的值．
【解答】解：函数 f（x）=exlnx，
则 f′（x）=exlnx+ •ex；
∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．
故答案为：e．
【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题．
11．（5.00 分）如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1﹣BB1D1D
的体积为 ．
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【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．
【解答】解：由题意可知四棱锥 A1﹣BB1D1D 的底面是矩形，边长：1 和 ，
四棱锥的高： A1C1= ．
则四棱锥 A1﹣BB1D1D 的体积为： = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
12．（5.00 分）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆
的方程为 （x﹣1）2+y2=1（或 x2+y2﹣2x=0） ．
【分析】【方法一】根据题意画出图形，结合图形求得圆心与半径，写出圆的方
程．
【方法二】设圆的一般方程，把点的坐标代入求得圆的方程．
【解答】解：【方法一】根据题意画出图形如图所示，
结合图形知经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆，
其圆心为（1，0），半径为 1，
则该圆的方程为（x﹣1）2+y2=1．
【方法二】设该圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则 ，
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解得 D=﹣2，E=F=0；
∴所求圆的方程为 x2+y2﹣2x=0．
故答案为：（x﹣1）2+y2=1（或 x2+y2﹣2x=0）．
【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，是基础题．
13．（5.00 分）已知 a，b∈R，且 a﹣3b+6=0，则 2a+ 的最小值为 ．
【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．
【解答】解：a，b∈R，且 a﹣3b+6=0，
可得：3b=a+6，
则 2a+ = = ≥2 = ，
当且仅当 2a= ．即 a=﹣3 时取等号．
函数的最小值为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，
求解函数的最值．考查计算能力．
14．（5.00 分）已知 a∈R，函数 f（x）= ．若对任意 x∈[﹣3，
+∞），f（x）≤|x|恒成立，则 a 的取值范围是 [ ] ．
【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【解答】解：当 x≤0 时，函数 f（x）=x2+2x+a﹣2 的对称轴为 x=﹣1，抛物线开
口向上，
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要使 x≤0 时，对任意 x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，
则只需要 f（﹣3）≤|﹣3|=3，
即 9﹣6+a﹣2≤3，得 a≤2，
当 x＞0 时，要使 f（x）≤|x|恒成立，即 f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线 y=x 的下
方或在 y=x 上，
由﹣x2+2x﹣2a=x，即 x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，
得 a≥ ，
综上 ≤a≤2，
故答案为：[ ，2]．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分段函数的不等式分别进行转化
求解即可．注意数形结合．
三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
15．（13.00 分）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，
160．现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动．
（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（Ⅱ）设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2
名同学承担敬老院的卫生工作．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
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（ii）设 M 为事件"抽取的 2 名同学来自同一年级"，求事件 M 发生的概率．
【分析】（Ⅰ）利用分层抽样的性质能求出应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿
意者中分别抽取得 3 人，2 人，2 人．
（Ⅱ）（i）从抽取的 7 名同学中抽取 2 名同学，利用列举法能求出所有可能结果．
（ii）设抽取的 7 名学生中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，
来自丙年级的是 F，G，M 为事件"抽取的 2 名同学来自同一年级"，利用列举法
能求出事件 M 发生的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3：2：
2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，
∴应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿意者中分别抽取得 3 人，2 人，2 人．
（Ⅱ）（i）从抽取的 7 名同学中抽取 2 名同学的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，
{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，
{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共 21 个．
（i）设抽取的 7 名学生中，来自甲年级的是 A，B，C，
来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，
M 为事件"抽取的 2 名同学来自同一年级"，
则事件 M 包含的基本事件有：
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共 5 个基本事件，
∴事件 M 发生的概率 P（M）= ．
【点评】本题考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含基本事件数、古典概型
及其概率计算公式等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．
16．（13.00 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 bsinA=acos
（B﹣ ）．
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）设 a=2，c=3，求 b 和 sin（2A﹣B）的值．
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【分析】（Ⅰ）由正弦定理得 bsinA=asinB，与 bsinA=acos（B﹣ ）．由此能求出
B．
（Ⅱ）由余弦定理得 b= ，由 bsinA=acos（B﹣ ），得 sinA= ，cosA= ，
由此能求出 sin（2A﹣B）．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得 ，得 bsinA=asinB，
又 bsinA=acos（B﹣ ）．
∴ asinB=acos （ B ﹣ ） ， 即 sinB=cos （ B ﹣ ）
=cosBcos +sinBsin = cosB+ ，
∴tanB= ，
又 B∈（0，π），∴B= ．
（Ⅱ）在△ABC 中，a=2，c=3，B= ，
由余弦定理得 b= = ，由 bsinA=acos（B﹣ ），得 sinA= ，
∵a＜c，∴cosA= ，
∴sin2A=2sinAcosA= ，
cos2A=2cos2A﹣1= ，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB= = ．
【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是中档题．
17．（13.00 分）如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平
面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB=2，AD=2 ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
第 18 页（共 23 页）
【分析】（Ⅰ）由平面 ABC⊥平面 ABD，结合面面垂直的性质可得 AD⊥平面 ABC，
则 AD⊥BC；
（Ⅱ）取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND，又 M 为棱 AB 的中点，可得∠DMN（或
其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成角，求解三角形可得异面直线 BC 与 MD 所成
角的余弦；
（Ⅲ）连接 CM，由△ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，可得 CM⊥AB，且
CM= ，再由面面垂直的性质可得 CM⊥平面 ABD，则∠CDM 为直线 CD 与平面
ABD 所成角，求解三角形可得直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：由平面 ABC⊥平面 ABD，平面 ABC∩平面 ABD=AB，AD⊥
AB，
得 AD⊥平面 ABC，故 AD⊥BC；
（Ⅱ）解：取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND，
∵M 为棱 AB 的中点，故 MN∥BC，
∴∠DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成角，
在 Rt△DAM 中，AM=1，故 DM= ，
∵AD⊥平面 ABC，故 AD⊥AC，
在 Rt△DAN 中，AN=1，故 DN= ，
在等腰三角形 DMN 中，MN=1，可得 cos∠DMN= ．
∴异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 ；
（Ⅲ）解：连接 CM，∵△ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，
故 CM⊥AB，CM= ，
又∵平面 ABC⊥平面 ABD，而 CM⊂平面 ABC，
故 CM⊥平面 ABD，则∠CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成角．
在 Rt△CAD 中，CD= ，
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在 Rt△CMD 中，sin∠CDM= ．
∴直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 ．
【点评】本题考查异面直线所成角、直线与平面所成角、平面与平面垂直等基本
知识，考查空间想象能力、运算求解能力与推理论证能力，属中档题．
18．（13.00 分）设{an}是等差数列，其前 n 项和为 Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，
公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（n∈N*）．已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．
（Ⅰ）求 Sn 和 Tn；
（Ⅱ）若 Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值．
【分析】（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为 q，由已知列式求得 q，则数列{bn}的通
项公式与前 n 项和可求；等差数列{an}的公差为 d，再由已知列关于首项与公差
的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前 n 项和公式可得 Sn；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出 T1+T2+……+Tn，代入 Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，化为关于
n 的一元二次方程求解正整数 n 的值．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{bn}的公比为 q，由 b1=1，b3=b2+2，可得 q2﹣q
﹣2=0．
∵q＞0，可得 q=2．
故 ， ；
设等差数列{an}的公差为 d，由 b4=a3+a5，得 a1+3d=4，
由 b5=a4+2a6，得 3a1+13d=16，
∴a1=d=1．
故 an=n， ；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得 T1+T2+……+Tn= =2n+1﹣n
﹣2．
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由 Sn+（T1+T2+……+Tn）=an+4bn，
可得 ，
整理得：n2﹣3n﹣4=0，解得 n=﹣1（舍）或 n=4．
∴n 的值为 4．
【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和等基础知识，
考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．
19．（14.00 分）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的右顶点为 A，上顶点为 B．已知
椭圆的离心率为 ，|AB|= ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 l：y=kx（k＜0）与椭圆交于 P，Q 两点，1 与直线 AB 交于点 M，
且点 P，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．
【分析】（1）设椭圆的焦距为 2c，由已知可得 ，又 a2=b2+c2，解得 a=3，
b=2，即可．
（Ⅱ）设点 P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则 Q（﹣x1，﹣y1）．
由△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，可得 x2﹣x1=2[x1﹣（﹣x1）]，x2=5x1，
联立方程求出由 ＞0. ，可得 k．
【解答】解：（1）设椭圆的焦距为 2c，
由已知可得 ，又 a2=b2+c2，
解得 a=3，b=2，
∴椭圆的方程为： ，
（Ⅱ）设点 P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则 Q（﹣x1，﹣y1）．
∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，∴|PM|=2|PQ|，从而 x2﹣x1=2[x1﹣（﹣
x1）]，
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∴x2=5x1，
易知直线 AB 的方程为：2x+3y=6．
由 ，可得 ＞0．
由 ，可得 ，
⇒ ，⇒18k2+25k+8=0，解得 k=﹣ 或 k=﹣ ．
由 ＞0．可得 k ，故 k=﹣ ，
【点评】本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属
于中档题．
20．（14.00 分）设函数 f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中 t1，t2，t3∈R，
且 t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列．
（Ⅰ）若 t2=0，d=1，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若 d=3，求 f（x）的极值；
（Ⅲ）若曲线 y=f（x）与直线 y=﹣（x﹣t2）﹣6 有三个互异的公共点，求 d
的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出 t2=0，d=1 时 f（x）的导数，利用导数求斜率，再写出切线
方程；
（Ⅱ）计算 d=3 时 f（x）的导数，利用导数判断 f（x）的单调性，求出 f（x）的
极值；
（Ⅲ）曲线 y=f（x）与直线 y=﹣（x﹣t2）﹣6 有三个互异的公共点，
等价于关于 x 的方程 f（x）+（x﹣t2）﹣6 =0 有三个互异的实数根，
利用换元法研究函数的单调性与极值，求出满足条件的 d 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），
t2=0，d=1 时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，
∴f′（x）=3x2﹣1，
f（0）=0，f′（0）=﹣1，
∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为 y﹣0=﹣1×（x﹣0），
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即 x+y=0；
（Ⅱ）d=3 时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）
= ﹣9（x﹣t2）
=x3﹣3t2x2+（3 ﹣9）x﹣ +9t2；
∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3 ﹣9，
令 f′（x）=0，解得 x=t2﹣ 或 x=t2+ ；
当 x 变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；
x （﹣
∞，
t2﹣
）
t2﹣ （t2﹣
，
t2+ ）
t2+ （t2+ ，
+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增
∴f（x）的极大值为 f（t2﹣ ）= ﹣9×（﹣ ）=6 ，
极小值为 f（t2+ ）= ﹣9× =﹣6 ；
（Ⅲ）曲线 y=f（x）与直线 y=﹣（x﹣t2）﹣6 有三个互异的公共点，
等价于关于 x 的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6 =0 有三个
互异的实数根，
令 u=x﹣t2，可得 u3+（1﹣d2）u+6 =0；
设函数 g（x）=x3+（1﹣d2）x+6 ，则
曲线 y=f（x）与直线 y=﹣（x﹣t2）﹣6 有 3 个互异的公共点，
等价于函数 y=g（x）有三个不同的零点；
又 g′（x）=3x2+（1﹣d2），
当 d2≤1 时，g′（x）≥0 恒成立，此时 g（x）在 R 上单调递增，不合题意；
当 d2＞1 时，令 g′（x）=0，解得 x1=﹣ ，x2= ；
∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，
在（x2，+∞）上也单调递增；
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∴g（x）的极大值为 g（x1）=g（﹣ ）= +6 ＞0；
极小值为 g（x2）=g（ ）=﹣ +6 ；
若 g（x2）≥0，由 g（x）的单调性可知，
函数 g（x）至多有两个零点，不合题意；
若 g（x2）＜0，即 ＞27，解得|d|＞ ，
此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6 ＞0，且﹣2|d|＜x1；
g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6 ＜0，
从而由 g（x）的单调性可知，
函数 y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符
合题意；
∴d 的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）．
【点评】本题主要考查了导数的运算以及导数的几何意义，运用导数研究函数的
单调性与极值的应用问题，是综合题．
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