摘要

整系数高次方程是高考数学中 “函数与方程” 板块的延伸考点，虽不单独命题，但常融入函数零点、不等式证明、多项式分解等题型中。本文基于高考命题特点，结合有理根定理、共轭根定理及多项式降次思想，系统梳理整系数高次方程的求解步骤，提炼 “先定有理根降次，再用定理判特殊根” 的核心策略，并通过高考真题案例演示应用，为高中数学教学提供可操作的方法参考，帮助学生突破高次方程求解的思维瓶颈。

关键词

高考数学；整系数高次方程；有理根定理；共轭根定理；多项式降次.

一、高考中整系数高次方程的命题定位与考查特点

整系数高次方程（次数≥3）在高考中并非独立考点，而是以 “隐性载体” 的形式存在，主要考查学生对 “方程与函数相互转化”“代数变形”“定理应用” 等核心素养的掌握，其命题特点可概括为两点：

（一）考查维度：聚焦 “降次” 与 “根的性质”

高考从不要求求解高次方程的所有精确根，而是侧重两个方向：一是通过 “找有理根” 将高次方程降为低次（二次或一次），进而解决函数零点个数、零点分布问题；二是利用共轭根定理判断特殊根（无理根、复根）的存在性，辅助证明不等式或确定参数范围。例如 2022 年新高考 II 卷第 22 题，通过三次函数的零点问题，间接考查有理根的寻找与多项式分解。

（二）题型特征：依托函数载体，弱化纯代数计算

高次方程常与三次、四次函数结合，以 “求函数零点”“判断零点符号”“证明零点唯一性” 等形式呈现，且多数题目中高次方程必含有理根，无需使用卡尔达诺公式等复杂工具。例如 2020 年全国卷 I 理科第 21 题，三次函数的零点可通过有理根定理快速找到，进而分析函数单调性与极值。

二、整系数高次方程求解的核心定理与逻辑框架

求解整系数高次方程的关键是 “降次”，而 “降次” 的依据是两大核心定理，需在教学中让学生精准理解、熟练应用。

（一）有理根定理：高次方程 “降次的起点”

定理内容：对于整系数多项式方程若其有有理根（p,q为互质整数），则p是常数项的约数，q是首项系数的约数

1. 高考应用要点：

◦ 列出可能有理根时，需包含 “正负约数”，避免遗漏负根；

◦ 验证有理根时，优先代入±1常数项与首项系数的简单比值，（如±2、±12）,减少计算量；

找到有理根后，需将多项式分解为(qx−p)与低次多项式的乘积（避免分数系数，简化后续计算）

（二）共轭根定理：特殊根 “存在性的判断工具”

1.定理内容：

若整系数多项式有无理根则其共轭无理根必为该多项式的根；

◦若整系数多项式有复（虚数）根（）则其共轭复（虚数）数必为该多项式的根。）

1.高考应用要点：

◦高考仅考查 “无理实根的共轭性”，不涉及复根（复根为高中数学选修内容，不在高考必考范围内）；

◦若高次方程降次后得到二次多项式，且判别式为正但非完全平方数，则其两根为共轭无理根，可直接用求根公式求解。

（三）求解逻辑框架：“先有理，再特殊，后低次”

整系数高次方程的求解需遵循 “降次优先” 的原则，形成固定思维链：

1.用有理根定理找出所有有理根，将高次多项式分解为 “一次因式（对应有理根）” 与 “低次多项式” 的乘积；

2.对低次多项式（通常为二次或三次），判断其是否含无理根：若为二次，直接用求根公式；若为三次，重复步骤 1（若有有理根则继续降次，若无则必含 1 个无理实根与 2 个共轭复根，高考中无需求解复根）；

3.结合函数图像或零点分布，确定所需根的范围或性质，无需追求所有根的精确表达式。

三、高考真题案例解析：策略的实际应用

以 2022 年新高考 II 卷第 22 题（节选）为例，演示整系数高次方程求解策略的应用

题目：已知函数的零点个数。

解析步骤：

1.构造高次方程：求g(x) = 0，即（x > 1）。两边同乘x - 1（x > 1，不为 0），得整系数高次方程：

展开整理：，。

2.用有理根定理降次：

◦对于三次方程；

可能的有理根为

3. 分析低次多项式根的性质：

4.结论：

点评：本题通过有理根定理将四次方程降为三次，再降为二次，快速排除无实根的情况，避免了复杂计算，符合高考 “重思路、轻计算” 的命题风格。

四、教学建议：基于高考需求的能力培养

针对整系数高次方程的教学，需紧扣高考考查重点，避免陷入 “纯理论推导” 的误区，聚焦 “应用能力” 培养：

（一）定理教学：“理解 + 记忆 + 验证” 三维一体

1.通过具体例子（如方程）推导有理根定理，让学生理解 “为何有理根必为‘常数项约数/首项系数约数’”；

2.总结 “有理根验证优先级”：先验±1，再验常数项与首项系数的简单比值，减少无效计算；

3.强调 “分解后的因式整理”：找到有理根作为因式，避免分数系数干扰后续步骤。

（二）解题教学：“流程化 + 题型化” 训练

1.固化求解流程：将 “列可能有理根→验根→分解降次→分析低次方程” 作为固定步骤，通过 3-5 道典型题训练，形成肌肉记忆；

2.结合高考题型：围绕 “函数零点”“不等式恒成立”“参数范围” 等高考高频题型，设计高次方程的应用场景，让学生体会 “降次” 的实际价值。

（三）易错点突破：聚焦 “细节与范围”

1.提醒 “根的范围取舍”：高次方程的根可能包含增根（如分式方程去分母后产生的根）或不符合题意的根（如定义域限制），需结合题目条件筛选；

2.澄清 “共轭根的适用场景”：明确高考仅考查 “二次多项式的共轭无理根”，三次多项式的复根无需求解，避免学生过度拓展。

五、结语

整系数高次方程的求解在高考中并非 “难题”，而是 “方法题”。教学中需以 “有理根定理” 为核心工具，以 “降次” 为核心思想，以 “高考题型” 为实践载体，帮助学生建立 “从高次到低次、从复杂到简单” 的思维路径。通过系统训练，学生不仅能掌握高次方程的求解技巧，更能提升代数变形、逻辑推理的核心素养，为解决高考综合题奠定基础。

版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除