更新时间：作者：小小条
这份资料精心挑选了8类在期中考试中出镜率极高的函数值域题型，并附上详细的思路分析和解答过程，旨在帮助同学们彻底攻克这个重点难点。
高一数学期中复*：函数的值域8大重点题型精讲
核心思想： 求值域的本质是探索在定义域内，所有自变量x对应的函数值y的取值范围。关键在于方法选择。
题型一：分式函数 (一次比一次型)
题目： 求函数 f(x) = (2x - 1) / (x + 3) 的值域。
【思路分析】
对于y = (ax + b) / (cx + d) 型函数，首选分离常数法。目标是将其变形为 y = k + m / (x + n) 的形式，从而利用反比例函数的部分来确定值域。
【解答过程】
首先进行分离常数：f(x) = (2x - 1) / (x + 3) = [2(x + 3) - 6 - 1] / (x + 3) = [2(x + 3) - 7] / (x + 3) = 2 - 7/(x + 3)。
接着分析范围：因为7/(x + 3) ≠ 0，所以 2 - 7/(x + 3) ≠ 2。
因此，函数f(x) 的值域为 { y | y ∈ R, 且 y ≠ 2 }。
最终答案：(-∞, 2) ∪ (2, +∞)
题型二：二次函数 (含区间限制型)
题目： 求函数 f(x) = x² - 4x + 3 在区间 [1, 4] 上的值域。
【思路分析】
二次函数求值域，图像（抛物线）是关键。必须先找到对称轴，然后根据所给区间是包含对称轴还是在对称轴的一侧，来确定最大值和最小值点。
【解答过程】
首先通过配方找到对称轴：f(x) = x² - 4x + 3 = (x - 2)² - 1，因此对称轴为x = 2，抛物线开口向上。
判断区间与对称轴的关系：区间[1, 4] 包含了对称轴 x = 2。
计算关键点的函数值：在顶点处取得最小值f(2) = (2-2)² - 1 = -1；在左端点处 f(1) = (1-2)² - 1 = 0；在右端点处 f(4) = (4-2)² - 1 = 3。
比较这些值可知，最小值为-1，最大值为 3。
最终答案：[-1, 3]
题型三：根式函数 (换元法型)
题目： 求函数 f(x) = √(2x - 1) 的值域。
【思路分析】
根式函数求值域，首先要保证被开方数非负，求出定义域。然后，由于根式值本身非负，值域的下限是0。通过函数单调性或换元法可求出上限。
【解答过程】
首先求定义域：由2x - 1 ≥ 0 得出 x ≥ 1/2。
然后分析单调性：函数由y = √t 和 t = 2x - 1 复合而成。t 在 [1/2, +∞) 上单调递增，y=√t 也单调递增，所以复合函数 f(x) 在定义域内单调递增。
最后计算值域：当x = 1/2 时，取得最小值 f(x)min = √(2*(1/2) - 1) = 0；当 x 趋向于正无穷时，f(x) 也趋向于正无穷。
最终答案：[0, +∞)
题型四：含绝对值的函数 (分类讨论型)
题目： 求函数 f(x) = |x - 1| + |x + 2| 的值域。
【思路分析】
涉及多个绝对值，通常采用零点分段法。找出每个绝对值为零时的x值（零点），将数轴分成若干段，在每一段上去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数进行研究。
【解答过程】
首先找出零点：x = 1和 x = -2。
然后进行分段讨论：
当x ≤ -2 时，x-1 < 0, x+2 ≤ 0，所以 f(x) = -(x-1) - (x+2) = -2x -1，此区间内函数单调递减，因此 f(x) ≥ f(-2) = 3。
当-2 < x ≤ 1 时，x-1 ≤ 0, x+2 > 0，所以 f(x) = -(x-1) + (x+2) = 3。
当x > 1 时，x-1 > 0, x+2 > 0，所以 f(x) = (x-1) + (x+2) = 2x + 1，此区间内函数单调递增，因此 f(x) > f(1) = 3。
综合以上所有情况，f(x) ≥ 3恒成立。
最终答案：[3, +∞)
题型五：根据值域求参数 (逆向思维型)
题目： 若函数 f(x) = (x² + 2x + a) / x 在区间 [2, +∞) 上的值域为 [5, +∞)，求实数 a 的值。
【思路分析】
这是已知值域反求参数的题目。通常先对函数变形，利用其单调性或最值来建立关于参数a 的方程。
【解答过程】
首先对函数进行变形：f(x) = (x² + 2x + a) / x = x + 2 + a/x。
分析单调性与最值：在[2, +∞) 上，函数由 y=x+2（增）和 y=a/x 组成。题目给定值域是 [5, +∞)，说明最小值 5 在 x=2 处取得。
列方程求解：f(2) = 2 + 2 + a/2 = 4 + a/2 = 5，解得a/2 = 1，即 a = 2。
验证：当a=2 时，f(x)=x+2+2/x。在 [2, +∞) 上，由对勾函数性质或求导可知其为增函数，f(2)=5 确为最小值，符合题意。
最终答案：a = 2
题型六：对勾函数 (基本不等式型)
题目： 求函数 f(x) = x + 4/x (x > 0) 的值域。
【思路分析】
形如f(x) = ax + b/x (ab > 0) 的函数称为对勾函数。在 x > 0 时，可直接应用基本不等式求最小值，并观察趋势确定最大值（无穷大）。
【解答过程】
应用基本不等式：因为x > 0，所以 x + 4/x ≥ 2√(x * 4/x) = 2√4 = 4。
取等条件：当且仅当x = 4/x，即 x²=4，x=2 (x>0) 时，等号成立。
确定值域：当x 无限趋近于 0⁺ 时，4/x 趋向正无穷，因此 f(x) 也趋向正无穷；当 x 趋向正无穷时，f(x) 也趋向正无穷。所以函数的值域为 [4, +∞)。
最终答案：[4, +∞)
题型七：分段函数 (逐段分析型)
题目： 求函数 f(x) = { x + 2, (x ≤ -1); x², (-1 < x < 2); 2x, (x ≥ 2) } 的值域。
【思路分析】
分段函数求值域，必须分段求，再合并。在每一段的定义区间内，求出该段函数的值域范围，最后取所有范围的并集。
【解答过程】
分段求解：
第一段(x ≤ -1)：f(x) = x + 2，单调递增。当 x 趋向负无穷时，f(x) 也趋向负无穷；当 x = -1 时，f(-1) = 1。所以本段值域为 (-∞, 1]。
第二段(-1 < x < 2)：f(x) = x²，开口向上，对称轴 x=0。在 (-1, 2) 内，当 x=0 时，取得最小值 f(0)=0。在端点处，f(-1) 取不到但无限接近 1，f(2) 取不到但无限接近 4。所以本段值域为 [0, 4)。
第三段(x ≥ 2)：f(x) = 2x，单调递增。当 x=2 时，f(2)=4；当 x 趋向正无穷时，f(x) 也趋向正无穷。所以本段值域为 [4, +∞)。
合并值域：(-∞, 1] ∪ [0, 4) ∪ [4, +∞) = (-∞, +∞)。
最终答案：R (全体实数)
题型八：抽象函数 (单调性定义型)
题目： 函数 f(x) 在定义域 (0, +∞) 上单调递增，且满足 f(xy) = f(x) + f(y)，若 f(3)=1，求 f(x) 在 [1, 9] 上的值域。
【思路分析】
对于抽象函数，没有具体表达式，解题依赖于函数的性质（单调性、奇偶性等）和所给函数方程。本题关键是利用方程求出f(1) 和 f(9)，再利用单调性求值域。
【解答过程】
首先求特殊值：
令x=y=1，代入函数方程得 f(1*1)=f(1)+f(1)，即 f(1)=2f(1)，解得 f(1)=0。
令x=y=3，代入函数方程得 f(9)=f(3)+f(3)=1+1=2。
然后利用单调性：因为f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增，所以在区间 [1, 9] 上，当 x=1 时取得最小值 f(1)=0，当 x=9 时取得最大值 f(9)=2。
最终答案：[0, 2]
方法总结表
题型 核心方法 关键点
分式函数（一次比一次） 分离常数法 反比例函数特性，y ≠ 常数
二次函数（含区间） 配方法 + 数形结合 找对称轴，比较区间端点、顶点值
根式函数 求定义域 + 单调性/换元法 确保被开方数≥0，值域≥0
含绝对值函数 零点分段法 转化为分段函数，分别求值域
根据值域求参数 逆向思维，列方程 利用最值点或单调性建立等式
对勾函数 基本不等式/导数 注意“对勾”形状，一正二定三相等
分段函数 分段求值域，再取并集 注意区间端点处的开闭
抽象函数 利用函数性质与方程 求特殊值，结合单调性、奇偶性
希望这份资料能帮助同学们高效备考，在期中考试中取得优异成绩！
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