更新时间：作者：小小条
一、单项选择题
1. 某学校为了了解高一年级学生的体能情况，随机选取了100名学生进行体能测试，在这个问题中，100名学生的体能测试成绩是（ ）
A. 总体
B. 个体
C. 样本
D. 样本容量
答案：C
2. 已知一组数据\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的平均数为\(\overline{x}\)，则数据\(2x_1 + 3,2x_2 + 3,\cdots,2x_n + 3\)的平均数为（ ）
A. \(2\overline{x}\)
B. \(2\overline{x}+3\)
C. \(\overline{x}+3\)
D. \(2\overline{x}+6\)
答案：B
3. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. “至少有1个白球”和“都是红球”
B. “至少有1个白球”和“至多有1个红球”
C. “恰有1个白球”和“恰有2个白球”
D. “至多有1个白球”和“都是红球”
答案：C
4. 某同学在一次考试中，语文、数学、英语三科的平均成绩是93分，其中语文、数学两科的平均成绩是92分，则该同学英语的成绩是（ ）
A. 92分
B. 93分
C. 94分
D. 95分
答案：D
5. 已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(2,\sigma^2)\)，且\(P(X\lt4)=0.8\)，则\(P(0\lt X\lt2)\)等于（ ）
A. 0.6
B. 0.4
C. 0.3
D. 0.2
答案：C
6. 从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（ ）
A. \(\frac{1}{5}\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(\frac{3}{5}\)
D. \(\frac{4}{5}\)
答案：B
7. 已知样本数据\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的方差为4，则数据\(2x_1 + 3,2x_2 + 3,\cdots,2x_n + 3\)的方差为（ ）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 20
答案：C
8. 一个袋子里有4个红球和2个白球，从中任取2个球，则这2个球中至少有1个红球的概率是（ ）
A. \(\frac{14}{15}\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(\frac{1}{5}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
答案：A
9. 某学校为了了解学生的学*情况，从高一年级的2000名学生中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，2000名学生的成绩是（ ）
A. 总体
B. 个体
C. 样本
D. 样本容量
答案：A
10. 已知随机变量\(X\)的分布列为\(P(X = k)=\frac{1}{3}\)，\(k = 1,2,3\)，则\(D(X)\)等于（ ）
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{9}\)
D. \(\frac{2}{9}\)
答案：A
二、多项选择题
1. 下列关于统计与概率的说法正确的有（ ）
A. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
B. 方差越大，数据的离散程度越大
C. 若事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件，则\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
D. 若事件\(A\)与事件\(B\)是对立事件，则\(A\)与\(B\)一定是互斥事件
答案：BCD
2. 下列抽样方法中，属于简单随机抽样的有（ ）
A. 从无限多个个体中抽取10个个体作为样本
B. 盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里
C. 从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验（假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取）
D. 某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛
答案：C
3. 已知一组数据\(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)的平均数是2，方差是\(\frac{1}{3}\)，那么另一组数据\(3x_1 - 2,3x_2 - 2,3x_3 - 2,3x_4 - 2,3x_5 - 2\)的（ ）
A. 平均数是4
B. 平均数是2
C. 方差是3
D. 方差是\(\frac{1}{3}\)
答案：AC
4. 设离散型随机变量\(X\)的分布列为
| \(X\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| \(P\) | 0.2 | 0.1 | 0.1 | 0.3 | \(m\) |
则下列说法正确的有（ ）
A. \(m = 0.3\)
B. \(P(1\lt X\leqslant3)=0.4\)
C. \(E(X)=2\)
D. \(D(X)=2.2\)
答案：ABC
5. 下列事件中，是随机事件的有（ ）
A. 连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点
B. 某人买彩票中奖
C. 从集合\(\{1,2,3\}\)中任取两个不同元素，它们的和大于2
D. 在标准大气压下，水加热到\(90^{\circ}C\)会沸腾
答案：AB
6. 已知随机变量\(X\sim N(1,\sigma^2)\)，若\(P(0\lt X\lt1)=0.3\)，则\(P(X\gt2)\)等于（ ）
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.6
答案：A
7. 某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么有（ ）人两个小组都不参加。
A. 17
B. 23
C. 15
D. 18
答案：A
8. 对于古典概型，下列说法正确的有（ ）
A. 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
B. 每个基本事件出现的可能性相等
C. 每个事件出现的可能性相等
D. 若基本事件总数为\(n\)，随机事件\(A\)包含\(k\)个基本事件，则\(P(A)=\frac{k}{n}\)
答案：ABD
9. 已知样本数据\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的平均数为\(\overline{x}\)，方差为\(s^2\)，则数据\(ax_1 + b,ax_2 + b,\cdots,ax_n + b\)（\(a\neq0\)）的（ ）
A. 平均数为\(a\overline{x}+b\)
B. 方差为\(a^2s^2\)
C. 平均数为\(a\overline{x}\)
D. 方差为\(as^2\)
答案：AB
10. 从甲、乙、丙、丁4名学生中随机抽取2名学生参加志愿者服务，则甲被选中的概率为（ ）
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{3}{4}\)
答案：A
三、判断题
1. 总体的方差和样本的方差是一样的。（ ）
答案：错误
2. 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。（ ）
答案：正确
3. 若事件\(A\)与事件\(B\)是互斥事件，则\(A\)与\(B\)一定是对立事件。（ ）
答案：错误
4. 简单随机抽样每个个体被抽到的机会相等。（ ）
答案：正确
5. 一组数据的中位数一定是这组数据中的某一个数。（ ）
答案：错误
6. 若随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，则\(P(X=\mu)=0\)。（ ）
答案：正确
7. 频率分布直方图中，小矩形的面积等于该组的频率。（ ）
答案：正确
8. 从10个零件中抽取3个进行质量检验，采用的抽样方法是简单随机抽样。（ ）
答案：正确
9. 已知事件\(A\)发生的概率为\(P(A)\)，则\(0\leqslant P(A)\leqslant1\)。（ ）
答案：正确
10. 若事件\(A\)与事件\(B\)相互独立，则\(P(AB)=P(A)P(B)\)。（ ）
答案：正确
四、简答题
1. 简述简单随机抽样的特点。
简单随机抽样具有以下特点：总体中的个体有限；从总体中逐个进行抽取；是一种不放回抽样；每个个体被抽到的机会相等，即等可能性。它是一种最基本的抽样方法，能保证样本的随机性和代表性，为后续的统计分析提供可靠基础。
2. 什么是互斥事件和对立事件，它们之间有什么关系？
互斥事件是指在某一试验中不可能同时发生的事件。对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生。对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。例如掷骰子，“出现1点”和“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件；“出现奇数点”和“出现偶数点”是对立事件，也是互斥事件。
3. 简述方差的意义。
方差是用来衡量一组数据波动大小的量。方差越大，说明数据偏离平均数越大，数据的离散程度越大，数据越不稳定；方差越小，说明数据偏离平均数越小，数据的离散程度越小，数据越稳定。通过方差可以比较不同组数据的稳定性，在实际中有广泛应用，如比较不同产品质量的稳定性等。
4. 请说明频率与概率的区别与联系。
区别：频率是指在多次重复试验中，某一事件发生的次数与试验总次数的比值，它会随着试验次数的变化而变化；概率是指某一事件在大量重复试验中发生的可能性大小，是一个固定的值。联系：当试验次数很大时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值。
五、讨论题
1. 讨论在实际生活中，统计与概率知识的应用。
在实际生活中，统计与概率知识应用广泛。在医疗领域，通过统计患者数据评估治疗方案的有效性和安全性；保险公司利用概率计算保费，根据不同风险事件发生的概率确定合理价格。在市场调研中，统计消费者的偏好和购买行为，为企业决策提供依据。在体育比赛中，根据运动员以往的表现数据进行概率分析，预测比赛结果。这些应用都体现了统计与概率对决策和预测的重要性。
2. 如何提高用统计与概率知识解决实际问题的能力？
要提高用统计与概率知识解决实际问题的能力，首先要扎实掌握基本概念和公式，理解统计方法和概率模型。其次，多做实际案例分析，通过分析不同类型的问题，熟悉解题思路和方法。再者，关注生活中的统计与概率现象，尝试用所学知识进行解释和分析。还可以参加相关的实践活动，如社会调查等，在实践中积累经验，提高运用知识的能力。
3. 讨论抽样调查的必要性和注意事项。
抽样调查的必要性在于，当总体数量庞大时，全面调查成本高、耗时长，甚至不可行，抽样调查可以通过抽取部分样本，以较小的成本和时间获取关于总体的信息。注意事项包括：要保证样本的随机性，使每个个体都有相等的机会被抽到；样本容量要合适，过小会导致结果不准确，过大会增加成本；抽样方法要科学合理，根据实际情况选择合适的抽样方式，如简单随机抽样、分层抽样等。
4. 谈谈正态分布在实际中的应用。
正态分布在实际中应用广泛。在教育领域，学生的考试成绩通常近似服从正态分布，可据此分析成绩的分布情况，确定优秀、及格等分数线。在质量控制中，产品的质量指标很多时候也服从正态分布，通过控制均值和标准差来保证产品质量稳定。在自然科学中，许多自然现象如人的身高、体重等也近似服从正态分布，有助于对这些现象进行研究和分析。
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