更新时间：作者：小小条
是不是一看到“均值不等式”和“绝对值不等式”就头大？公式好像记住了，但一做题就错？考试时各种分类讨论写到手软？
别怕！这两个不等式其实是纸老虎。今天，我用两大核心板块 + 一套万能解法，带你彻底搞懂它们。只要你跟着思路走，我保证你不仅学会，更能考对，轻松拿下这10分！
全文思维导图，先理清思路
第一部分：均值不等式 - “和与积”的艺术 第二部分：绝对值不等式 - “距离”的哲学 第三部分：终极对比 & 考场避坑指南
第一部分：均值不等式 — 搞定“和与积”的不等关系
核心思想： 它揭示了两个正数的和与它们的积之间的不等关系。
1. 核心公式（“一正二定三相等”）
最基本的形式（当且仅当 a = b 时取等号）：
a² + b² ≥ 2ab （平方和与积的关系） a + b ≥ 2√(ab) （和与积的关系，最常用！）扩展形式（三元，当且仅当 a = b = c 时取等号）：
a³ + b³ + c³ ≥ 3abc （立方和与积） a + b + c ≥ 3∛(abc) （和与几何平均）
2. 万能解题步骤：“一正二定三相等”七字诀
这是使用均值不等式的灵魂原则，缺一不可！
· 一正： 确保所有数都是正数。这是大前提！
· 二定： 函数的和或积必须是定值（常数）。
· 求最大值，就要让积为定值，然后看和的最小值。
· 求最小值，就要让和为定值，然后看积的最大值。
· 三相等： 一定要验证取等号的条件是否成立。这是很多同学忽略导致扣分的关键！
3. 实战例题（求最值）
题目： 已知 x > 0，求函数 f(x) = x + 9/x 的最小值。
【解】
1. 一正： x > 0，9/x > 0，满足条件。
2. 二定： 两项x和9/x的乘积是定值：x * (9/x) = 9。
3. 应用公式： f(x) = x + 9/x ≥ 2√(x * 9/x) = 2√9 = 6
4. 三相等： 当且仅当 x = 9/x，即 x²=9, x=3 (舍去负值) 时，取等号。
∴ 当x=3时，函数取得最小值6。
第二部分：绝对值不等式 — 理解“距离”的本质
核心思想： 把绝对值看作数轴上两点之间的距离，所有问题迎刃而解。
1. 核心公式与几何意义
· |a| ≤ b (b>0) ⇔ -b ≤ a ≤ b
· 几何意义： 数轴上，表示数a的点到原点的距离小于等于b。· |a| ≥ b (b>0) ⇔ a ≤ -b 或 a ≥ b
· 几何意义： 数轴上，表示数a的点到原点的距离大于等于b。· |x - a| ≤ b ⇔ a - b ≤ x ≤ a + b
· 几何意义（超级重要！）： 数轴上，表示数x的点到点a的距离小于等于b。解集是一个区间[a-b, a+b]。· |x - a| ≥ b ⇔ x ≤ a - b 或 x ≥ a + b
· 几何意义： 数轴上，表示数x的点到点a的距离大于等于b。解集是两个区间的并集。
2. 万能解题步骤：“先公式，后画图”
第一步：标准化。 把不等式化为|x - a| ≤ b 或 |x - a| ≥ b 的形式。
第二步：想距离。在数轴上标出核心点a，理解不等式的距离含义。
第三步：得解集。根据公式或数轴图，直接写出解集。
第四步：取下等。如果不等式带等号（≤, ≥），解集的端点要包含进去。
3. 实战例题（解不等式）
题目： 解不等式 |2x - 1| < 3
【解】
第一步：标准化 把2提出来：|2(x - 1/2)| < 3 → 2|x - 1/2| < 3 → |x - 0.5| < 1.5
第二步：想距离 求的是：数x到点0.5的距离小于1.5。
第三步：得解集 根据公式 |x - a| < b ⇔ a - b < x < a + b 0.5 - 1.5 < x < 0.5 + 1.5→ -1 < x < 2 **∴原不等式的解集为 {x | -1 < x < 2}
第三部分：终极对比 & 考场避坑指南
避坑口诀：
· 均值不等式：“正数定值再相等，最值问题马上解。”
· 绝对值不等式： “化标准，画数轴，距离一看就清楚。”
［互动挑战区］
1. 【必做题】 已知 x > 1，求函数 y = x + 1/(x-1) 的最小值。（注意：“一正”条件变了吗？）
2. 【必做题】 解不等式 |3x + 2| ≥ 5。（试试用“距离法”和公式法两种方法！）
3. 【求反馈】 你觉得是“均值不等式”的七字诀难，还是“绝对值”的距离思想更难理解？
4. 【关注解锁】 点个关注，下次带你梳理必修第三课函数的知识点
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