更新时间：作者：小小条
这些内容虽不强制掌握，但在竞赛、自主招生或中考压轴题中常作为“解题利器”，合理使用可大幅简化过程。以下整理 6类“课本外但极有用”的定理/公式，均附适用场景 + 使用注意，助你快人一步：
一、 三角形类
1. 梅涅劳斯定理（Menelaus）
•内容：一条直线截△ABC三边（或延长线）于D、E、F，则 [ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 ]
•用途：解决三点共线或线段比例问题（如2024苏州中考模拟第26题）。
•课本状态：❌ 无；✅ 高中选修4-1。
2. 塞瓦定理（Ceva）
•内容：AD、BE、CF交于一点 ⇨ [ \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 ]
•用途：证明三线共点（如重心、内心连线）。
•与梅氏区别：梅氏用于共线，塞瓦用于共点。
二、⭕ 圆类3. 托勒密定理（Ptolemy）
•内容：圆内接四边形ABCD中， [ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC ]
•特例：正方形 → 对角线×对角线 = 边×边 + 边×边 ⇒ d^2 = 2a^2（即勾股定理）。
•用途：求对角线长、证线段关系（常见于几何压轴题）。
4. 相交弦定理 / 切割线定理 / 割线定理（统称“圆幂定理”）
•虽部分教材在“阅读材料”提及，但不作为必考定理：
•相交弦：PA \cdot PB = PC \cdot PD
•切割线：PT^2 = PA \cdot PB
•割线：PA \cdot PB = PC \cdot PD
•实际建议：必须掌握！中考高频考点（如2025南京卷第27题）。
三、 相似与比例5. 平行线分线段成比例定理的逆定理
•课本只讲正定理：“平行 ⇒ 成比例”；
•逆定理：“若成比例 ⇒ 平行” —— 常用于证明平行，但教材未强调。
•使用技巧：在梯形、三角形中构造比例，反推平行。
四、 坐标系与解析几何（初中弱化）6. 两点间距离公式
•公式：AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}
•课本状态：❌ 不出现（仅通过勾股定理隐含）；
•实际价值：求最值、判断形状（如是否等腰）极快。
7. 中点坐标公式
•公式：M\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)
•用途：找对称点、求重心、辅助线定位。
五、 代数与几何结合8. 海伦公式（Heron’s Formula）
•内容：已知三边a,b,c，半周长 s = \frac{a+b+c}{2}，则 [ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ]
•课本状态：❌ 无；
•使用场景：已知三边求面积（避免作高）；
•风险：计算复杂，仅推荐在竞赛或特殊题型使用。
六、 思维模型（非公式，但超实用）
模型 说明
手拉手模型 两个共顶点的等腰/等边三角形 → 旋转全等
一线三等角 直线上三个相等角 → 构造相似三角形
阿氏圆 （Apollonius Circle） 到两定点距离比为定值的点的轨迹 → 解PA + k·PB最值
✅ 使用建议（重要！）
场景 策略
中考答题 可用，但需 简要说明原理 （如“由勾股定理得…”），避免直接写“由托勒密定理…”
平时练* 大胆使用，提升解题速度与视野
自主招生/竞赛 必须掌握，是区分能力的关键
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