在初中阶段的三角函数中，一般常见的特殊角度为：30°, 45°, 60°, 90°. 对应的函数值如下表：

角度（°）	角度（弧度）	sin（正弦）	cos（余弦）	tan（正切）
0	0	0	1	0
30	π/6	1/2	√3/2	√3/3
45	π/4	√2/2	√2/2	1
60	π/3	√3/2	1/2	√3
90	π/2	1	0	∞（不存在）

这些函数值，其实也不用死记硬背，因为他们都可以很简单地用勾股定理推导出来，此处从略了。

除了以上这些常见的特殊角度外，其实还有一些次常用的特殊角，比如说：15°, 18°, 22.5°, 36°, 54°, 67.5°, 72°, 75°等。

观察一下，这些特殊角度，其实分为两大类：

一类是30°和45°两个常用特殊角的半角，以及半角的组合，如15°, 75°, 以及22.5°和67.5°。另一类是黄金三角形形成的特殊角，如：18°, 36°, 54°, 72°。

在初中阶段，因为没有学*过半角公式或者倍角公式，所以，我们一般是通过尺规作图，构造三角形，然后通过解方程的方法，来计算其函数值。

1、15°角的三角函数值的计算

先构造一个直角三角形，如下图。

15°角的三角函数值的计算-1

如图中，∠C=90°，∠CDB = ∠ABD =15°.

令BD=a. 则：

DC = a * sin15°BC = a * cos15°

故：

AC = BC * tan30° = √3 / 3 * a* cos15°AD = AC – DC = √3 / 3 * a* cos15° - a * sin15°

在∆ABD中，使用正弦定理，得到：

BD / sin ∠BAD =AD /sin ∠ABD

正弦关系

代入，得到：

a / sin60° = (√3 / 3 * a* cos15° - a * sin15°) / sin15°.

化简得到：

2*sin15° = cos15° - √3 * sin15°

即：cos15° = ( 2 + √3 ) sin15°

因为：

DC = a * sin15°BC = a * cos15° = a * ( 2 + √3 ) sin15°

在直角∆BCD中使用勾股定理，DC2 + BC2 = BD2.

(a * sin15°)2 + [a * ( 2 + √3 ) sin15°]2 = a2

展开、合并化简得：

（sin15°)2 = ( 4 - 2√3 ) / 8

故： sin15° = (√6 - √2) / 4

然后，可以很容易求得：cos15°和tan15°的值，简单汇总一下：

sin15° = (√6 - √2) / 4cos15° = (√6 + √2) / 4tan15° = 2 - √3.

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2、75°角的三角函数值的计算

因为15°和75°角为直角三角形内呈现互补关系，所以不用单独计算了。即：

sin75° = cos15° = (√6 + √2) / 4cos75° = sin15° = (√6 - √2) / 4tan75° = 1 / tan15° = 2 + √3.

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3、18°角和72°的三角函数值的计算

18°、36°、72°角相对比较特殊，主要原因在于他们同时存在于一个黄金三角形中。

如图，构造等腰∆ABC，其中∠A=36°, AB=AC. 故∠B=∠C=72°。此时的这个等腰∆ABC被称为黄金三角形。

黄金三角形-1

【注：此三角形是可以用尺规作出来的，此处先忽略尺规作图的过程。】

作∠B的角平分线BD交AC于点D，然后过点A作AD⊥BC于点D。故：

∠BAD = ∠ABD = ∠CBD = 36°.∠BCD = ∠BDC = 72°.∠BAE = ∠CAE = 18°.

即∆DAB和∆BCD均为等腰三角形。

故：AD = DC = BC.

另外，观察∆ABC与∆BCD，三角对应相等，故∆ABC∽∆BCD。

AC = AD + CD

令 AB = AC =a, BC = b, 则：

即：

因为a≠0, 两边同时除以a^2, 得：

令 t = b/a, 得到 t = (√5 -1) / 2.

然后观察直角三角形∆ABE。

sin18° = cos72° = BE / AB = ( BC/2) / AB = t / 2 = (√5 -1) / 4.cos18° = sin72° = √(10 + 2√5) / 4tan18° = (√5 -1) / √(10 + 2√5)

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4、36°角和54°的三角函数值的计算

如图，基于之前构造的黄金三角形。过点D作DF⊥AB于点F.

黄金三角形-2

因为∆DAB为等腰三角形，故：DF垂直平分AB，即BF=FA.

根据第三步的设定：

AB = a， BC = BD = b, t = b/a = (√5 -1) / 2,

观察∆FBD,

BF = AB / 2 = a / 2

故：

cos36° = BF / BD = a / 2 / b = ½ * a/b

= ½ * 2 / (√5 -1)

= (√5 +1) / 4

由此：得到：

sin36°= cos54° = √(10 - 2√5) / 4

tan36 = √(10 - 2√5) / (√5 +1)

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小结：

要有两个基本的概念，即：

以15°为基数的角的三角函数值会用到：√2, √3, √6.以18°为基数的的三角函数值会用到：√5, √10.

有点特殊角的三角函数值还是不太容易的，但强烈建议把15°的三角函数值记一下，然后把sin18°和cos36°也记一下。

当我们知道了这些值之后，我们就可以用尺规作图，把上面的黄金三角形给作出来了。

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