更新时间：作者：小小条
第一部分至第八部分属于纯数学范畴；第九部分至第十三部分处于纯数学与应用数学的交界地带；第十四部分至第十八部分为应用数学；第十九部分至第二十部分聚焦于数学教育与数学史。每个主题之后标注的数字代表讲座数目，由此可窥见该主题在数学领域中的重要地位。
第1部分：逻辑（3 - 5）
描述
涵盖模型论、证明论、递归论（可计算性理论）、集合论及其应用，且与第2、3、4、8、13、14部分存在关联。
说明
数理逻辑肇始于对数学事业坚实根基与严谨性的不懈追求，在非基础性问题上亦具有重要应用价值。它发轫于19世纪末康托创立集合论，历经希尔伯特的基础计划，于20世纪初在根岑、哥德尔、塔斯基和图灵的卓越工作中达到鼎盛。当下的主要研究主题包括独立性问题、大基数、逻辑系统的强度、可计算性层次中的可约性、可定义性、稳定性以及最小值概念。此主题是基础问题、内部发展与应用（涵盖代数、代数和复几何、组合数学、计算机科学、数论和分析的诸多方面）的丰富共生体。近期，同伦类型论作为一种新颖的证明论崭露头角，且与拓扑学存在联系。
第2部分：代数（3 - 6）
描述
涉及群（有限、无限、代数）及其表示、环（交换和非交换）、场和模、一般代数结构、代数K理论、范畴论以及代数和应用的计算方面，与第1、3、4、5、6、7、13、14部分相关联。
说明
代数是数学领域的一门基础学科，与代数几何、拓扑学、组合数学和数论联系尤为紧密。其诸多传统主题活力十足（例如，有限群及其表示、代数K理论、场算术等），在其他主题中，与其他领域的交互亦至关重要（例如，代数群、李理论、代数几何、组合群论、范畴论等）。应格外关注该领域这两个方面的适度平衡。
第3部分：数论（8 - 11）
描述
此部分涵盖代数数论；局部域与全局域的伽罗瓦群及其表示；代数簇和丢番图方程的算术研究；数的几何、丢番图近似以及超越数相关内容；p - adic分析；模和自守形式、模曲线和Shimura簇；Langlands纲领；Zeta函数和L - 函数；解析、加性和概率数论；计算数论及其应用；探讨其与逻辑和物理的关系，并且与第1、2、4、7、9、11、12、13、14部分存在关联。
说明
数论作为数学领域中最为古老的分支之一，极大地促进了众多其他分支的发展，其中包括复数和p - adic分析、代数以及代数几何等，直至今日依旧呈现出蓬勃发展的态势。代数数论的研究聚焦于Galois表示和L - 函数的基本特性，一方面与Grothendieck的motive猜想所构想的代数几何存在着千丝万缕的联系，另一方面与Langlands猜想所规定的李群表示和自守表示有着深刻的渊源。
传统上侧重于素数分布研究的解析数论，近年来实现了显著的复兴，成功解决了诸多长期悬而未决的问题，并且与组合数学和概率论建立了全新的联系。鉴于数论问题具有具体而独特的性质，计算数论也十分活跃，与理论计算机科学保持着紧密的关联。
第4部分：代数几何与复几何（8 - 11）
描述
涉及代数簇、它们的周期、上同调和motive；概形和stacks；交换代数的几何层面；算术几何；有理点；低维和特殊簇；奇点问题；双有理几何和极小模型；模空间和枚举几何；超越方法以及代数簇的拓扑；复微分几何、Kähler流形和Hodge理论；探讨其与数学物理和表示论的关系；包含计算方法；实代数和解析集；p - adic几何；D - 模块和（iso）晶体；热带几何学；导出范畴和非交换几何，同时与第1、2、3、5、6、7、8、11、13、14部分有关联。
说明
代数、算术和解析的几何处于数学众多发展脉络的交汇之处，它与代数、数论、拓扑学、微分几何和数学物理之间存在着尤为紧密的联系。该领域的许多现代发展深受这些相关领域的影响，同时也对它们产生着反作用。
在这一领域开展研究工作所需的工具丰富多样，从复分析到有限域和p - adic技术均有涉及。这门学科中的一些基本理念极为深刻，例如motive、模或者从复数到有限域再到有限域的研究方法。近年来，在双有理几何、模理论、D - 模和等晶体理论、丢番图几何、导出范畴的几何研究、枚举几何和motivic问题等方面均取得了一些令人瞩目的进展。
第5部分：几何学（8 - 11）
描述
本部分聚焦于局部与整体微分几何、几何偏微分方程及几何流、流形上的几何结构、黎曼与度量几何、Kähler几何、群论的几何层面、辛流形与接触流形、凸几何以及离散几何。并且，该部分与第2、4、6、7、8、9、10、11、12、16、17部分存在关联。
说明
几何在数学的发展进程中始终占据着核心地位，特别是在20世纪末至21世纪初这一时期。上个世纪起，非线性偏微分方程在几何领域的应用便已开启，且至今仍在不断拓展。例如，辛几何与接触几何中的伪全纯曲线催生了全新的不变量。
黎曼几何与度量几何向来是几何学的核心主题，同时也在其他领域得到了广泛应用，如群论、3 - 流形拓扑、刚性理论以及概率论等。流形上并非局限于度量的几何结构（例如射影、仿射和伪黎曼结构），近期也取得了重要进展。几何方法在离散群和局部紧群的研究中愈发凸显其重要性。
第6部分：拓扑学（7 - 10）
描述
涵盖代数拓扑、微分拓扑和几何拓扑、流形的手术与微分同胚群、同伦论（包含motivic同伦和K理论）、Operads与高阶范畴、Floer和规范理论、低维流形（包括扭结理论）、模空间、辛流形和接触流形以及量子场论相关内容。此部分与第2、3、4、5、7、8、9、11部分存在关联。
说明
依据所采用的研究方法，拓扑学可划分为代数拓扑、微分拓扑和几何拓扑。其多样的表现形式对数学的众多核心领域至关重要，涉及几何、算术、分析、代数几何、动力系统以及数学物理等。拓扑学的方法在日益增多的数学应用领域中得到了广泛运用。
近年来，在3 - 流形和4 - 流形理论、等变稳定同伦理论（Kervaire不变量）以及模空间研究等方面的一些经典问题上取得了重大突破。与此同时，诸如几何群论、拓扑量子场论和派生代数几何学等新兴学科领域也取得了重要进展，重塑了拓扑学的整体面貌。其主要研究主题包括流形理论、同伦理论（含motivic同伦和K理论）、operads与高阶范畴、Floer和规范理论、低维流形（含扭结理论）、模空间、辛流形和接触流形以及量子场论相关内容。
第7节：李理论和Generalizations（6 - 9）
描述
此节聚焦于李群、代数群及其各类推广形式的结构、几何特性与表示。涵盖与之相关的几何及代数对象，诸如对称空间、建筑物（buildings）以及其他李理论变体、顶点算子代数、量子群等。同时研究李群的格以及其他离散子群，还有它们对几何对象的作用。此外，涉及非交换调和分析以及表示论中的几何方法。该部分与第2、3、4、5、6、8、9、11、12、13部分存在关联。
说明
李群和李代数堪称数学领域的核心支柱之一，精准地捕捉了连续对称的概念。它们在多个不同方向上得以拓展与推广，例如无限维李代数、Hecke代数、量子群或顶点算子代数等。其结构与表示通常借助D - 模或范畴等价在深层次上相互关联。
李群和李代数在代数几何、数学物理、调和分析、数论等诸多领域均有广泛应用。李群的结构成果亦被推广至局部紧群。另一个重要的研究方向是探究李群的离散子群及其对几何对象的作用。除了其自身蕴含的学术价值外，该领域还与数学物理、几何学、数论、遍历理论、动力系统乃至计算机科学建立了紧密联系并获得了实际应用。
第8部分：分析学（9 - 12）
描述
包含经典分析内容，涉及单变量与多变量的实分析和复分析、势理论、拟共形映射。涵盖调和分析、傅立叶分析以及时间频率分析。还包括线性和非线性泛函分析、算子代数、Banach代数、Banach空间。涉及非交换几何、自由概率、随机矩阵分析。包含高维渐近几何分析、度量几何及其应用以及几何测度论。该部分与第5、6、7、9、10、11、12、13、14、15、16、17部分存在关联。
说明
广义分析是数学的主要领域之一。本节内容囊括复分析、调和分析（实变量和抽象情形）、泛函分析、算子代数、几何测度论以及高维几何。本课题巧妙地将定量估计与定性结果相结合，可应用于连续和离散的环境之中。
算子代数（如冯 - 诺伊曼代数和C*代数）的分类与分析和几何群论、描述集论以及遍历理论等不同的数学领域有着深刻的内在联系。积分算子（奇异、振荡、势、傅立叶等）以及相关对象（如伪微分算子）的分析在偏微分方程、指标理论、几何、数学物理和数论等方面有着广泛的应用。分析学与其他领域，如动力系统、概率、组合数学、信号处理和理论计算机科学之间存在着诸多富有成效的相互作用。
本部分涵盖拓扑和符号动力学、平滑动力系统（包括源自常微分方程的系统）、哈密顿系统以及具有几何起源的动力系统、一维、全纯和算术动力学、模空间上的动力学、遍历理论（包含组合数学和组合数论的应用）、离散群的作用和刚性理论、齐次动力学（包含数论的应用）以及无限维动力系统和偏微分方程。它与第5、7、8、10、11、12、13、15、16部分存在关联。
源自共形几何和非线性泛函分析的强大工具，推动了一维动力学（实的和复的）取得令人瞩目的进展。重整化理论在洞察这些动力系统的小尺度结构方面，发挥了举足轻重的作用。近期，重整化方法也被应用于类Henon映射的二维动力学研究中。与重整化相关的动力学理念，亦是解决薛定谔算子谱相关问题的基石。
混沌动力学、非均匀双曲系统和部分双曲动力学系统同样取得了重要突破。近年来，在C¹拓扑中发现了诸多新的鲁棒且泛型的动力系统性质。在高阶群作用的刚性研究方面获得了一些成果，齐次空间上的动力学思想成功应用于解决数论中的诸如Littlewood猜想等问题。在保守动力学领域，借助KAM理论的分析工具以及辛几何的拓扑分析不变量，取得了重要成果。
聚焦于线性和非线性方程及系统的可解性、正则性、稳定性以及其他定性和定量性质、渐近性、谱理论、散射、反问题、确定性和随机控制理论、随机微分方程、非局部方程、自由边界问题、变分法、动力学方程、最优运输、均匀化和多尺度问题、近似解和摄动问题，以及与众多应用的关联。它与第5、8、9、11、12、15、16、17、18部分存在关联。
偏微分方程（PDE）用于刻画各类极为丰富的科学、概率和几何现象，这些现象受波传播、反应、扩散、色散、平衡、守恒等因素的影响。故而，偏微分方程在科学和工程领域无处不在，涵盖物理科学、生物学、经济学以及近年来的社会科学。
偏微分方程在数学中的关键地位，是通过与其他领域（包括分析、几何、数学物理、概率、控制、数值分析、科学计算和建模）富有成效的交互得以确立的。近年来，为更深入理解非线性偏微分方程，研发了重要的新工具。目前，仍有许多极具挑战性的开放性问题推动着当前的研究，包括可压缩和不可压缩Euler和Navier - Stokes方程的全局行为理论、Yang - Mills方程和Einstein方程、奇异摄动问题的多尺度分析、变分问题以及有无随机数据的控制和反问题。
此节内容包含动力系统，其中涵盖可积系统；平衡与非平衡统计力学，涉及相互作用的粒子系统；偏微分方程，包括流体动力学、波动方程、玻尔兹曼方程以及材料科学相关方程；广义相对论；随机模型与概率方法，包含随机矩阵和随机（偏）微分方程；代数方法，涉及算子代数、表示论以及量子场论的代数层面；量子力学与光谱理论，涵盖量子混沌；量子信息与计算；量子多体理论与凝聚态物理；量子场论，包括规范理论和共形场论；物理学中的几何学与拓扑学，包括弦论和量子引力。该部分与第2、4、5、6、7、8、9、10、12部分存在关联。
数学物理处于数学与物理的交汇地带。物理学的思想与问题持续对诸多数学领域产生深远影响，诸如几何、算子代数、拓扑学、概率论以及偏微分方程等。数学物理的范畴极为宽泛，无论是从其所运用并为之贡献的数学知识，还是从其研究的物理系统来看，皆是如此。
包括随机分析、随机偏微分方程、马尔可夫过程；相互作用的粒子系统、随机介质；随机矩阵和随机图；共形不变模型、随机增长模型、精确可解模型；分支过程；粗糙路径、规则结构；随机网络、随机几何；以及在统计学、数据科学、计算机科学、物理学和生命科学中的应用。该部分与第2、3、5、7、8、9、10、11、13、14、15、16、17、18部分存在关联。
在过去的几十年间，概率论对数学其他领域以及社会重要层面的影响力呈稳步上升态势。它与数学和统计物理的联系始终紧密且互利共赢。在数学领域，其与偏微分方程和泛函分析的关系一直举足轻重。近年来，概率论与几何（通过几何分析和几何群论）、与共形场论和复分析（通过共形不变模型）、与表示论和组合学（通过可积概率）以及与数论（通过随机矩阵理论）的紧密互动也日益增多。其应用领域亦在迅速拓展，这直接促使我们设立了两个新的国际数学家大会（ICM）板块（分别关于统计学和数据科学，以及关于微分和随机建模）。
本部分聚焦于组合结构，涵盖精确与渐近的枚举、图论、概率和组合极值、设计与有限几何学、代数组合学、组合数学中的拓扑和分析技术、组合几何、组合数论、加性组合数学、多面体组合以及组合优化。它与第1、2、3、4、6、7、8、9、12、14部分存在关联。
呈现出高度组合复杂性的离散结构，诸如各类图、集合系统、拟阵或其他图形与配置，它们或是作为具有自身研究价值的对象，或是作为代数、几何、分析或理论计算机科学中重要对象的模型，广泛出现在整个数学领域。组合数学的研究主题涉及众多与这些结构相关的问题，从计数问题（例如计算特定规模对象的数量），到极值问题（例如确定与这些对象相关的各种统计量的最大值和最小值），再到与给定组合结构类中一般对象性质相关的结构问题，以及更为代数化的问题，例如如何在表示论、交换代数或代数几何等数学领域中阐释此类对象。
现代组合数学运用了整个数学领域（包括概率、分析、拓扑、代数等）的技术，反之，它正逐渐成为众多不同学科（如计算机科学、数论、表示论、逻辑学等）新进展中愈发关键的组成部分。
包含计算复杂性理论、算法设计与分析、自动机和形式语言、密码学、随机性和伪随机性、计算学*、优化、算法博弈论、分布式系统和网络、编码和信息理论、程序的语义和验证、符号和数值计算、量子计算与信息、数学中的算法和计算方面，以及自然科学和社会科学中的计算模型和问题。它与第1 - 18部分均有关联。
计算理论承担着为所有计算系统奠定数学基础的重任。它已然发展并持续推进着支持计算机科学和技术呈指数级拓展的理论，以及用于对其拓展资源进行必要建模、算法设计和分析的工具。这些理论涵盖了描述中所列举的诸多领域。
此项工作与众多数学领域构建起了一个相互作用的网络。将数学算法主体作为一个基本的元问题（例如，用高效程序替代存在定理以找出这些对象），促使其与数学的几乎每个领域展开了更广泛的合作，极大地丰富了诸多领域，揭示了更为精细的结构，解决了重要问题，并提出了新的挑战。
将类似的（自然和社会）科学算法化的元问题，即运用计算复杂性方法将自然（通常为物理）过程视作信息过程进行研究，正与大多数科学建立起互利共赢的合作关系。这一理念已然催生了大量的合作项目、正式模型、全新见解（例如，将难以处理的结果纳入建模考量）、研究成果和问题，并且有望在未来取得更多进展。
本部分致力于设计数值算法，并深入分析其准确性、稳定性、收敛性和复杂性，旨在解决广泛的（复杂）问题，具有显著的应用价值。涵盖高维问题的数值方法、多尺度问题和概率数值方法、调和分析的近似理论及计算方面、数值还原和不确定性量化，以及代数、泛函、随机、微分和积分微分方程的数值解。此部分与第8、9、10、12、14、16、17、18部分存在关联。
在科学领域运用数学模型有着源远流长的传统。每一个数学模型都需要一个数值对应体，以便借助计算机进行模拟。通常而言，构建此类数值模型颇具挑战，既涉及数学层面的难题，也存在实践方面的困境。例如，数值不稳定性可能会极大地降低解的质量，这需要深入理解并加以解决；或者全尺寸数值模型的模拟可能无法实现，因而需要采用简化技术。实际上，为复杂问题设计行之有效的数值方法，不仅需要运用复杂的数学工具，还需对手头的问题以及模拟过程中涉及的诸多实际因素有深刻的洞察。
聚焦于最小化问题、可控性、可观测性和稳定性、机器人技术、随机系统与控制、最优控制、优化设计和形状设计、线性、非线性、整数和随机规划、反问题及其应用。该部分与第9、10、12、13、14、15、17、18部分有关联。
控制论和优化具备坚实的数学根基，并且在众多工程学科中发挥着举足轻重的作用。自微积分诞生以来，优化便一直为数学的诸多分支注入活力。控制理论搭建起了该学科最具理论性的方面（动力系统的几何理论）与更偏向数值和实践的方面（数值优化）之间的桥梁。
在现代环境下，众多学科都在应用和拓展这些领域。应用实例丰富多样，包括登船自动化系统、翼型形状优化、采油反问题求解等。随着传统行业对认证和虚拟实验的要求日益提高，优化依然是一个极为活跃的研究课题。此外，还涌现出了新的应用领域，如生命科学（医学、力学、计算机辅助外科）、智能材料、分子进化的激光控制（分子电子学）、大型航空公司调度和运营问题以及现代搜索引擎等。
本部分涵盖统计学的各个领域，包含推理、参数与非参数统计，以及数据科学数学的所有分支。数据科学范畴广泛，涉及机器学*、信号和图像处理、数据生成、数据表示及其应用。此部分与第2、5、8、11、12、14、15、16、18部分存在关联。
过去几十年间，统计和数据科学对我们社会及日常生活的基本层面产生了日益加速的影响。重要的算法研发、可扩展的方法、数值实验以及数据的实际验证和非参数建模，正逐渐成为大多数行业与服务，以及整个物理科学、医学、工程、社会科学和艺术领域不可或缺的要素。众多数学领域为理解和利用数据提供了深刻见解，其中包括高维统计、优化、信息论、理论计算机科学、调和分析、代数、几何、随机分析和概率等。
聚焦于随机和确定性微分建模的数学进展，以及其在生物学、化学、医学、材料科学、金融和社会网络建模等领域的应用。涉及任意（可能为高）维、多尺度的确定性和随机系统（多尺度建模），以及模型简化、校准、不确定性量化和数据同化工具。该部分与第9、10、11、12、15、17部分有关联。
牛顿，而后是伊藤，引入了将我们的社会作为一个微分系统进行建模的关键工具，他们的工作产生了非凡的影响。该领域建模技术的丰富性和多样性持续以相当快的速度发展，其对我们社会的重要性也在不断提升。
此外，一些主要在缺乏严格数学方法的情况下发展起来的重要科学领域，如生物学和医学，如今正面临着对数学理解的巨大需求，并为微分系统带来了主要的数学挑战。事实上，就MathSciNet的出版物数量而言，该领域是最大的领域之一。
本部分应展示该领域最重要的研究成果。其重要性源于该方法在数学内部和外部所产生的影响和深刻见解。本节将涵盖建模和技术支撑，还将包括不太显著但十分重要的技术拓展（例如对冲，以及当下金融领域的剧烈波动），以及应用于创新场景的更为成熟的技术。
此部分聚焦于从小学到高等教育阶段数学教育的研究范畴与关键议题。同时涵盖数学有效普及的现代进展，其途径包括出版物、博物馆展示以及在线交流等。该部分与第17部分和第20部分存在关联。
数学教育与数学普及是所有数学家关注且肩负责任的领域，其发展受到数学历史演进与前沿技术革新的双重影响。本节旨在介绍数学教育中的核心问题与相关研究，以及数学普及方面的新兴动态。这两个主题相互促进、相得益彰。于国际数学教育大会（ICME）的专题研究小组中，能够窥见数学教育研究领域的广泛范畴。
致力于对各个历史时期、不同文化背景下的所有数学科学开展历史研究。
数学的历史可追溯至四千多年前，且广泛渗透于每一种文化与文明之中。数学史研究可在多种方法论、传记以及语境层面展开，它依托各类数学、文献学资料及文献记载，需要研究者具备广博的一般历史与政治知识，以及专业的数学技术知识，方能进行深入解读。
近年来，手稿与印刷文本的数字化为研究开辟了诸多新路径。尤其是欧洲以外的资料日益丰富且更易获取，这极大地推动了全球范围内的数学史研究。在数学飞速发展且专业化程度不断加深的当下，以及数学在社会中的重要性与日俱增的时代，数学史能为从业者提供反思与启发的工具，亦能为公众搭建理解数学的桥梁。
国内能把以上20个分类开全的学校很少很少，数学推进，任重而道远。
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