更新时间：作者：小小条
数学归纳法，一直是高中数学学*的内容，但几乎每次改革，它都会有所调整。
1.数学归纳法的教材呈现
1.1现行国内教材引入呈现
引入呈现 | 教材版本 |
多米诺骨牌效应[①] | 人教A、沪教、苏教、湘教 |
初始值及递推关系式求通项 | 人教B 版 |
等差数列前n项和公式 | 北师大版 |
袋子摸球游戏 | 鄂教版 |
1.2数学归纳法原理呈现
1.2.1人教A外其他版本教材呈现
人教A外版本教材中的数学归纳法
1.2.2人教A教材呈现
最新人教A版的数学归纳法
首先，它们共同强调的是与正整数有关的命题；其次，人教A版对第⑵步进行了改进，这样不只回避了“假设”描述的难于理解，还内涵了反复用第⑵步结论，有
数学归纳法内含的推理
进而对任意满足条件的正整数成立，本质是推理的无限传递性；再次，“假设”和“k≥n0”的条件，真的有必要写吗？最后，将此符号化即
一个关于正整数的命题P(n),
数学归纳法符号化
2.数学归纳法的地位
数学归纳法的地位，体现在每次改革的要求变更，外加对其在教学上的探究争论。
2.1要求变更
2002之前，数学归纳法是高中数学必学必考内容；2003-2017，数学归纳法是理科必学必考内容，文科不作要求；2018至今，数学归纳法是选学不作为考试命题内容。
从表面上看，数学归纳法要求是递减的。这种调整的意义何在呢？
2.1.1战略性调整
将有限的教学资源集中在应用更广、更为基础的数学核心知识上。这是基于一个明显的事实：高中除了数列部分用数学归纳法，其他地方很少用，基本属于孤立知识。
2.1.2理念性转变
从过分追求形式化证明，转向强调数学思想、直观感知和实际应用。用另一句很扎心的话说，我国历史上的数学归纳法教学，事实上迈向了死套的套路，与反套路[②]命制试题的初衷相悖。
2.1.3现实性考量
考虑到大多数学生的认知水平和未来发展的实际需求，实施差异化的教学要求。统计表明：除了大学离散数学方向可能用到它，其他专业基本不用。
2.2教学争论
外表上看，数学归纳法是在降要求，但这并不意味着数学归纳法不重要。
2.2.1内含思维
首先，数学归纳法，内含了推理无限传递的思维，从有限到无限，本来就是一种重要且有一定难度的思维。之所以被定位为“选修”，使其成为检验和提升学生逻辑思维能力的试金石，供那些有潜力、有兴趣的学生去挑战和掌握。因而，思维角度上，尖子生不学数学归纳法，在思维上是有缺陷的。
其次，教学管理上 “教育理论都应该服从一个最高公理：不能一刀切”；具体知识上，“这个专家要你增加内容，那一个教你减少，我们听谁的？听自己的！”[③]，而且数学课程设置改革，又的确存在 “去心化”的漏洞[④]。所以，最终还是要根据自身学生状况，来取舍是否学*数学归纳法。
再次，实操上，对于大多数中等偏下的学生而言，不学*数学归纳法，好多有关正整数命题的证明，只能在追求技巧上狂奔，而这种技巧又是相当多的这些等级的学生很难学会的——对他们而言，将之当作必备知识处理更容易操作，类似的知识还有复数的三角形式[⑤]。
最后，通过以上分析，不学*数学归纳法，仅仅对中等偏上又好学的学生影响不大。从这个意义上说，数学归纳法在高中数学的地位实质是明降暗升——尖子生重在思维，中等及其偏下重在方法。
3.数学意义上的问题与引申
3.1变格形式
通过对基础+推理无限传递性的深挖，可以得到数学归纳法的变格形式：
3.1.1全集为一维自然数
如：关于自然数的命题P(n)满足下列条件之一，可以断定P(n)对所有的自然数真[⑥]：
1.P(0)及P(1)真，P(k)真⇒P(k+2)真。
2.对无数个n有P(n)真，P(k)真⇒P(k-1)真。
3.P(0)真，n≤k时P(n)真⇒P(k+1)真(此*惯称第二数学归纳法)
3.1.2二维数学归纳法
P(n,m)是关于n,m的二维自然数的命题，满足条件：⑴P(0,m)、P(n,0)真；⑵P(k+1,s)、P(k,s+1)真⇒P(k+1,s+1)真。则对所有的自然数n、m，P(n,m)真。
3.1.3全集扩张到整数
一个关于整数的命题P(n)满足下列任意一个，则P(n)对n∈Z真。
1.P(0)真，P(k)真⇒P(k+1)、P(k-1)都真。
2.P(n0 )真，P(k)真⇔P(k+1)真。
3.2数学上的争论
2008年时，国际数学界曾专门开展过一次“数学归纳法课例展示”活动，当时国内某权威人士，将自己学生的课评价为“无懈可击的完美课”，但被一德国评委提得两个问题惨遭“打脸”，这两个问题是：一、数学归纳法真的只是用来证明与自然数有关的一些命题的方法吗？二、通过观察——猜想——数学归纳法证明，得出的数列通项公式，能保证其唯一性吗？如果不能保证，是表述成“此数列的通项公式是…”还是“…是这个数列的一个通项公式”？
对于第一个问题，由上面变格形式可知，数学归纳法不限于自然数，可以改进为“数学归纳法是用来证明一些与整数有关的数学命题的一种方法。”
至于第二个问题，通过初始值和函数递推关系猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法证明了该公式满足函数递推关系和初始值，在这种情况下，能保证该通项公式是唯一的，但需要明确“唯一”的含义：这里指的是数列本身的值是唯一确定的，而不是通项公式的表达式形式唯一，即：任何其他通项公式，如果也满足相同的初始值和函数递推关系，则必须与您猜想的公式在所有自然数 n 上得出相同的数列值。所以，叙述成“…是这个数列的一个通项公式”更合适。如：
同结果不同通项公式表达
至于非函数递推关系，并不唯一。
3.3数学归纳法更一般的扩充
数学归纳法可推广到超限归纳法（Transfinite Induction）：
超限数学归纳法
[⑦][⑧]。
但这个对高中生及大学非离散数学方向者介绍的意义不大。
【参考文献及说明】
[①]国际多数教材，也是用多米诺骨牌效应作为引入，有的还将数学归纳法称多米诺骨效应
[②] 数学题的查重简说[OL].今日头条 .2025-2-14
[③] 李尚志.我看核心素养[OL].京师书院.2018-02-08
[④] 谈谈高中数学新课标下的被动[OL].今日头条.2024-7-20
[⑤] Wang Mingshan, Chen Guanjun, Li Xiuping & Yan Erru. 中国高中数学必备知识探究[J]. Global Journal of Science Frontier Research: FMathematics and Decision Sciences Volume 23 Issue 7 Version 1.0 Year 2023:12-22
[⑥] 肖启明. 关于数学归纳法的几种形式及教材改革探讨[J].宜春师专学报.2000⑷:11-15
[⑦] 《Proofs and Fundamentals》（E. Bloch）
[⑧] 《Analysis 1》（T. Tao）
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