更新时间：作者：小小条
温馨提示：本文是一篇关于学科与生活的感慨、联想之作，任何有兴趣的朋友都可阅读。
在拼多多上偶然看到了数学的选修书《矩阵与变换》，大致看了一下目录，内心一震。我想很多朋友也和我一样都多少年不关注教育领域了，现在，高中数学教材的变化今非昔比，我大致看了一下，必修的内容变化不太大，还是那些基础知识点翻来覆去，而选修的内容，从选题上而不是知识点的覆盖上，涵盖了数学系的很多主要内容。
下图是必修的内容。
教材依旧是分A、B版，据说B版更难一些，它更加看中对于概念的理解，这个具体就不说了，因为不是专门研究这个的，网上的资料也不那么权威，知道个大概就行。
选修的内容很多，因为分文理科，它们的组合也不一样，我没有细致了解，因为这不是重点。重点是这些教材很多，不管你计划未来做什么行业，只要你想学数学，你都可以买得到这些教材自学。我们说的重点正是在选修上。
看下图。
对于对接大学数学与物理课程的内容，它们真是异常丰富！因为是立足于高中的选修课，所以它们的篇幅都是比较精简的，只是的一个概念的导引和解读。
下面，我们先聊聊这些内容的给我的感慨，然后我会选几个我感兴趣的内容展现并解说一下。
十五六年前，我那时的高中根本没有这么多的选修书。当时学的也是A版，选修好像是两本，具体的内容我记不太清了，我印象深的就是导数的“下放”——我们学了导数，并允许在高考中使用这个工具，它求极值简直是无敌的存在，而且公式还好背【等学了积分才发现微分公式是那么的亲切】，那一刻，我就非常喜欢微积分，但是教材没有教授积分的知识，那是大学的内容。
我高中时不喜欢数学，我喜欢物理和化学。我那时更想追随的是伽利略、牛顿和爱因斯坦，或者是拉瓦锡、李比希和门捷列夫，而不是高斯、希尔伯特和庞加莱。数学在我眼里枯燥无聊，低等的就像个计算工具，毫无活力。那些函数我学它们干嘛？那些排列组合方式我学它们有用吗？那些向量除了考试还能干啥？
这些不是民科无知的提问，而是因为“没有见过世面”的灵魂拷问——那时的网络没有现在这么发达和普及、网费也非常贵。退一步讲，即使有网络，因为网络大环境没有铺开，所以网上的教学内容极少；另外我住的小镇不比省会哈尔滨，哈市的新华书店与学府书城怎么说因为有像哈工大或者哈师大那样的大学带动也会有很多先进、前沿的科学书籍，我们小镇的书店在学*书籍方面只卖高中及以下的教辅。高中学*的模式和现在一样，超前的教学进度，然后一遍又一遍的刷题。老师和教材不会留给相对论和微分几何任何涉足的机会，至于无穷大，哼哼，你顶多也就认识个符号∞！
那时更没有移动终端说想看看抖音、头条啥的，这些都是近六七年的事。
为啥聊聊我的过往？很简单，那时如果我看到现在这些数学选修课，我一定会提早喜欢上数学的。再幸运点遇到个比较给力的好数学老师，他给我们讲讲这些选修课的一个大致脉络，它们是近代数学中的哪些内容的开端，会有怎样的发展，前沿是搞啥的......妥了，我那时不说一定会多么喜欢数学，但是指定不会那么讨厌数学。
因此一个好的教育体系、一个好老师，不说一定能让人成才，但绝对是在最大限度上让更多人不讨厌他所教的学科。从大众教育而非精英教育来说，这才是尽可能发现、发展人才的必要条件。
看到这些新的选修课你有什么感想？以现在课程改革的要求，一个合格乃至优秀的高中数学老师，应该是对上面所有的内容【当然包括必修的】都手拿把掐，系统、生动、张口就来、滔滔不绝。不管他热不热爱数学，他必须具有数学系的数学基础，而且非常熟悉。这可能也是现在教师招聘要求高中教师是数学系研究生的缘故。
我选了几个喜欢的内容做个概述，它们给人的感觉在高中层面还是不错的，能激发一定的兴趣引导高中生“温和”地进入近代数学。我们的解说对象主要为具有高中数学必修课基础的人【如果你已经有了高等数学的基础，这些内容对你来说意义不大】，解说的内容就是一种感性的了解，让你知道这门课大致的研究对象是啥。
●群是非常基本的数学对象，它下放到高中我真的毫无意见，举双手赞成。群是一个体系，而不是某个一个具体对象，它是一堆数学对象的汇总，也就是我们说的集合。而它与集合的区别在于，一个非空集合要想称为群，必须被赋予某种运算，比如加法，带有这种运算的集合才是群。为了表示它的特点，我们用(A,+)表示。它是序对的意思，就像你画的图像一样，(2,5)你知道不是它上面的点，而(2,4)是，因为第一个数要带入x，通过平方计算得到第二个数，类似的，(A,+)表示，我们要先给一个集合A，然后在其上赋予一种加法，二者缺一不可。当然了，群还要满足一定的约束条件，我们就不细讲了。
●矩阵的下放真让我极度意外，即使是后面的球面几何的下放也没有这么强烈的感觉，因为矩阵一直以来都是大学“线性代数”的领地。大学里工科和一般的理科专业会学线性代数，而数学系要学“高等代数”。对于代数来说，上面的群还是太抽象，虽然它极端重要。如果说哪个具体一点的代数概念最重要，我想，矩阵绝对首当其冲。矩是矩形的意思，阵是阵表。矩阵就是矩形的阵表。就像古代的打仗时两军对垒拉开阵仗，摆成的那种四方或者长方的队伍。当中的每一个兵就像当于矩阵的一个元素。
它的发明者叫亚瑟·凯莱，是一个伟大的数学家。老人家还将3维空间推广高维，于是就有我们现代数学中高维空间的数学概念。矩阵最大的特点就是，你直面的不是一个数，而是一堆数，你要同时对一堆——比如行数为3，列数为5的矩阵【一共15个数】——数进行操作，每一个你都不能放弃。另外，两个矩阵做乘法，和两个实数的乘法不一样：2×3=3×2，但是矩阵A×B≠B×A，更准确地说，它们相等要满足一定条件，这件事不得了，它开启了乘法不可交换的例子。在现代数学中我们叫“非交换代数”。非交换性对于运算来说是麻烦的，但是对于数学理论的发展是重要的。很多深刻的数学体系在运算上【尤其是乘法】都是非交换的。
●我有这本书，买它是作为一个参考资料留着。球面几何是非欧几何的代表，也是最经典的代表。从认知的角度说，整个世界，整个人生，除了平面，你最应该了解的就是球面，因为我们的世界叫地球。了解我们的大家园是生存的必然要求。球面几何起源于人们航海旅行，这是实打实的经验、实践科学。因为历史的原因，非欧几何曾为视为“异端”，是要排斥的科学，如今，它只是众多常识之一。我尤感气愤的就是那些无知、不学且认为自己“见地深刻”的人。他们连球面的上“测地线”是平面直线概念的推广这个最基本的内容都要推翻！真是愚昧透顶！
有点常识的都知道，北京飞纽约的飞机如果按我们常见的世界地图，好像它应该飞日本-太平洋-纽约这个顺序，但其实，它是飞内蒙古-俄罗斯-北冰洋-纽约，这就是球面几何的客观因素在支配啊——平面上两点间最短的距离是直线段描述的，球面上我们要推广这个特点从而定义“球面直线段”。我们发现任给球面两点，它们之间最短的那条曲线一定是过球心的大圆【这个大圆你叫它赤道或者纬线都行，因为抽象的球的任意一点都可以看做极点，到底是赤道还是纬线一定是先定义了南北极点然后才知道】。我们管这种两点间最短的线叫测地线，它就是球面上的“直线段”。北京飞纽约的路线之所以往北冰洋飞，那是因为那么飞走的是球面的测地线，是最短的距离。飞太平洋实际上是在绕远。
球面的三角形可以完全和平面的不一样，三边都是测地线的球面“测地三角形”，其内角和可以是270°，即它每个角都是90°，有趣吧。看看不一样的几何，就像当于看看不一样的世界，而这个世界其实你就生活在其中，只是不曾直面和经常感受那么大的距离跨度和几何结构而已。
●我内心深处一直希望可以将同余的内容纳入高中，作为近代数论的基础，当年同余算术被称为高等算术。它起源于高斯的著作《算术研究》，这本书以同余为工具深刻探讨了数论很多深刻而基本的命题。同余其实很好理解，如果a-b=kn，其中a，b，n都是给定的整数，k取全体整数，那么我们说a与b模n同余，符号a≡b mod(n)。模算术有什么特点？首先它和前面说的矩阵类似，它不是对某个具体给定的数进行计算，而是对一堆【无穷多个】被视为“等价”的数进行计算，所有等价的数都被收集在一个叫等价类的集合里。虽然我们每次计算时好像还是用某个具体的数，但是因为处于等价类的那些数都是等价的，于是我们可以把当下正在计算的数根据需要换成等价类中的任何其它数。一开始你会觉得这东西好像有无限多种可能，不好把握，但一旦你掌握了它的方法，你会发现模算术就像变魔术一样，它比普通算术有趣多了。
下面的三本书我是头一次看到，网上也没搜到什么信息，不知道这种选修课的“C类和D类”是啥意思，但是它们的内容真是让我的惊讶更进一步，真没想到教育部居然会这么广泛地涉及数学的教改，连数学在美学和音乐的上的的表现都纳入课程。这两方面不是我擅长的，我就不妄加评述了。
至于逻辑推理，这是我最为赞同的选修课。也许到现在为止很多人还不知道所谓的七大基本学科——数理化天地生逻，即数学、物理、化学、天文学与天体物理、地球科学与空间科学、生命科学、逻辑学。它们既是基本学科，也是基本科学。
●物理学是除了逻辑和数学以外最基本的“形象”科学。数学和逻辑学是并立最基本的抽象科学。数学不全是逻辑学，逻辑学也不全是数学【书中指的是逻辑学入门知识，划归在数学学科下没啥问题，因为对于数学的思辨需要它们】，但是两者相互融合互相促进。它们融合诞生的学科叫数理逻辑，它是用逻辑方式研究数学命题、证明的学科。而基础逻辑学，学*它与其说为了掌握知识，不如说是为了培养思维方式和能力，最终你可以忘记那些逻辑规则，但是研*它的过程所养成的推理的严密性和思辨的系统性是学*纯数学所不能比的。纯数学的精华不在于思维的逻辑严密性，它当然需要这个，但是它更重视的是概念的准确性、应用的合理性、系统的等价性、系统见间的交互性等等。培养、研究思维的逻辑学规律，这是逻辑学的内容。
总结：虽然没有具体看过这套教材，但是感觉应该还是不错的。知乎上有人批评这套书，说写的不系统，偷懒、摘抄什么的。其实呢，知乎和豆瓣读书一样，你看评论心里就应该清楚，两极分化是正常的，一道数学题的题解，你懂了不代表别人也懂了。因此最终读书感受如何，只有你读了才知道适不适合自己。这篇文章不是好书推荐，但是我确实想把它推荐给那些只有初高中级别数学素养的人，如果你喜欢数学，想学数学，对于系统的大部头又感觉啃起来吃力，这套高中的入门选修课值得一试。感兴趣的可以自己去淘宝和拼多多上搜，也不贵。读书学*切记好高骛远，专著读不明白，入门的又觉得太低级。我相信，我非常相信，抛开这套书的质量不谈，它所有选修课列出的那些内容，在知识体系上绝对碾压头条上喜欢数学的约95%的读者，所以踏实而扎实地学*总是没错的，毕竟，学海是无涯的。
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