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第1讲 集合的概念与运算

[玩前必备]

1.元素与集合的概念

(1)集合：研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合.

(2)集合元素的特性：确定性、互异性.无序性

2.元素与集合的关系

关系	概念	记法	读法
属于	如果a是集合A的元素，就说a属于集合A	a∈A	a属于集合A
不属于	如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A	a∉A	a不属于集合A

3.集合的分类

(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.

(2)非空集合：

①有限集：含有有限个元素的集合.

②无限集：含有无限个元素的集合.

4.常用数集的表示符号

名称	自然数集	正整数集	整数集	有理数集	实数集
符号	N	N＋或N*	Z	Q	R

5.列举法

把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.

6.描述法

(1)集合的特征性质

如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.

(2)特征性质描述法

集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.

7.集合间的基本关系

关系	自然语言	符号语言	Venn图
子集	集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)	A⊆B (或B⊇A)
真子集	集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中	AB (或BA)
集合相等	集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集	A＝B

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

8.集合的运算

(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；

	集合的并集	集合的交集	集合的补集
图形
符号	A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}	A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}	∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

[玩转典例]

题型一 集合的基本概念

例1　设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

例2 已知集合A＝{m＋2,2m²＋m}，若3∈A，则m的值为________．

[玩转跟踪]

1.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　)

A.3 B.6 C.8 D.10

2.已知集合A是由a－2,2a²＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a.

3.(探究与创新)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).求证：

(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集.

题型二 集合的表示方法

例3 下面三个集合：A＝{x|y＝x²＋1}；B＝{y|y＝x²＋1}；C＝{(x，y)|y＝x²＋1}.

问：(1)它们是不是相同的集合？

(2)它们各自的含义是什么？

例4 已知集合A＝{x∈R|ax²＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个元素，请用列举法表示集合A.

[玩转跟踪]

2.(探究与创新)已知集合A＝{x|ax²－3x－4＝0，x∈R}：

(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；

(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围.

题型三 集合间的基本关系

例5　集合{－1，0，1}共有________个子集.

例7 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.

求实数m的取值范围.

[玩转跟踪]

1.设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

2.定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B},若集合M＝{1,2,3,4,5},集合N＝{x|x＝2k－1,k∈Z},则集合M－N的子集个数为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.无数个

3.已有集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的集合.

题型四 集合的基本运算

例8 设集合A＝{x|x²－4x＋3<0},B＝{x|2x－3>0},则A∩B＝(　　)

例9 设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0},集合B＝{x|1＜x＜3},则A∪B＝(　　)

A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}

例10 (1)设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|－3<x<－1} B．{x|－3<x<0}

C．{x|－1≤x＜0} D．{x|x<－3}

例11　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围.

[玩转跟踪]

1.若集合P＝{x||x|＜3,且x∈Z},Q＝{x|x(x－3)≤0,且x∈N},则P∩Q等于(　　)

A.{0,1,2} B.{1,2,3} C.{1,2} D.{0,1,2,3}

2.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)

A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S

C.(M∩P)∩(∁IS) D.(M∩P)∪(∁IS)

3.(探究与创新)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

[玩转练*]

1．已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　　)

A．－3∈A B．3∉B

C．A∩B＝B D．A∪B＝B

3．已知集合A＝{(x，y)|x²＋y²≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A．9 B．8 C．5 D．4

4.设全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6<0}，则右图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|x<3} B．{x|－3<x≤1}

C．{x|x<2} D．{x|－2<x≤1}

6．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x²－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于(　　)

A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}

7．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0] B．[0，＋∞)

C．(－∞，0) D．(0，＋∞)

8.满足{a，b}∪B＝{a，b，c}的集合B的个数是________.

9.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a²＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________.

10.已知集合M＝{－2,3x²＋3x－4，x²＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为________.

11.已知全集I＝{2,3，a²＋2a－3}，若A＝{b,2}，∁IA＝{5}，求实数a，b.

12.已知A＝{x|x²－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.

13.设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜6}，B＝{x|2＜x＜9}.

(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；

(2)已知C＝{x|a＜x＜a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值构成的集合.

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