更新时间：作者：小小条
#高中数学#
为什么在讲完等差数列和等比数列之后再讲普通数列？
因为普通数列做题的方法，就是往等差数列或等比数列上面靠。
数列的概念我们前面已经讲过了，这里要特别说一种特殊的数列。
所谓的周期数列，就是每隔一定的项，数列的值完全一样，也就是这个数列就是固定的几个值按照相同的顺序在循环，像这样的数列就叫做周期数列。
我们初中做找规律题时，经常会遇到周期数列。
为什么要把他单独摘出来说。
因为下面我们要介绍的求数列通项公式的方法，都不适用于周期数列。
那么我们怎么验证一个数列是不是周期数列呢？
想想初中我们在没有学*数列相关知识时，是怎么求数列的通项公式的？
先把前几项算出来，然后找规律写出通项公式。
上了高中，不要觉得初中的东西低级了，有些初中的方法其实比高中的方法还好用。
比如验证一个数列是不是周期数列，或者实在找不出一个数列的解法了，不如用回初中的方法，说不定就迎刃而解了。
方法一，累加法。
当一个递推公式是以前后两项的差的形式给出时，可以采用累加法，因为中间项全部一加一减消除掉了，最终只剩下一头一尾的差，而头一般是已知的。
方法二，累乘法。
我们不止一次说过，在数学方法里，加法和乘法是一对，有加法的方法，就有乘法的方法。
当一个递推公式是以前后两项的商的形式给出时，可以采用累乘法，因为中间项全部一分子一分母约分掉了，最终只剩下一头一尾的商，而头一般是已知的。
累乘法一般用到的不多，因为累加法除了消除通项之外，另一边要求某个数列的各项和，求数列和的方法我们是知道的；但是累乘法除了消除通项之外，另一边要求某个数列的各项积，这个方法我们是没学的，所以累乘法考到的机会不大，除非另一边也是分子分母能约分的形式。
方法三，待定系数法。
如果给出的递推公式形如
则可采用待定系数法求其通项公式。
这种待定系数法叫过程的待定系数。
比如上面这个数列，我们一定是把它凑成通项+某个数的组合成等比数列的形式，我们知道要凑成什么形式，但是具体的数据不知道，这种情况下，就可以采用待定系数法，也就是先设出我们要凑的数，然后反解这个数是多少，从而把最终成等比数列的组合求出来，再根据等比数列的通项公式算出这个组合的通项公式，最后算出真正要求的通项公式。
方法四，带有前n项和的递推公式求通项公式。
这种递推公式求通项公式，一定会用到
通过这个公式，将前n项和消掉，变成没有前n项和的递推公式去求通项公式。
这是本节重点，几乎年年考。
第一种方法，错位相减法。
在讲等比数列时，我们已经介绍过这种方法，等比数列的前n项和公式就是通过这种方法推导出来的。
但是我们考试的时候，会比等比数列前n项和公式推导的更复杂。
我们一般考的是一个等差数列乘以一个等比数列的组合数列求前n项和，同样也是使用错位相减法。
如果一个数列{an}是由两个数列{bn}与{cn}相乘组成的，且数列{bn}为等差数列，数列{cn}为等比数列，在求数列{an}的前n项和时，可以先将各项相加的形式列出来，记为Sn，再将各项都乘以数列{cn}的公比或公比的倒数，形成新的前n项和形式qSn。
之后，将两式相减，左边就会变为（q-1）Sn，右边第一项与最后一项不变，中间各项错位相减得到一个新的等比数列，运用等比数列前n项和公式即可求出，整体整理化简即可得到最终的前n项和。
第二种方法，裂项相消法。
当要求和的数列的通项公式形式为
时，可采用裂项相消法。
将这个数列的通项公式裂成
的形式，把每项依次列出，采用累加法求和。
如此，中间的部分又会出现一正一负互相抵消掉的情况，只留下前一项和最后一项或者前两项和最后两项，即可求出前n项和了。
最后，给大家列出几个常见的数列的通项公式，方便大家在做题时快速求出通项公式来：
最后说点个人看法。
数列有可能是第一个被踢出高考大题的题型，因为它难度不高，出题形式单一。
如果数列被踢出大题，那么什么类型的题来顶替数列呢？
我能想到的是两个。
一个是函数应用题。因为现在素质教育讲求实用性，所以函数应用题有可能会成为大题。
第二个可能性是不等式的证明或应用题。这种题型在旧高考中与极坐标方程组成最后的选做题，新高考后，极坐标方程被删除不考了，但是不等式依然在考核范围内，却一直没有在大题行列中找到自己的位置，所以我觉得，第一道10分的大题，正好与旧高考的选做题分值相同，难度相当，极有可能改考不等式。
以上就是关于数列的全部内容了，做数列题主要靠凑。
还是那句话，实在没思路，试试初中的办法。
下节课，我们开始讲平面解析几何。
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