更新时间：作者：小小条
数学学到现在我们差不多结束了大一上学期的学*内容，剩下的这一章不会再引入什么“吓人”的概念了，主要是细讲进一步深入导数的世界，要知道等到学了积分就不会再像现在这样专门出一章讲应用了。
我们先讲导数的应用，也长话短说。根据导数的定义如果函数的导数也就是切线斜率大于0，那么我们可以想象这一条切线是向上“抬头”的也就是说导数就单调递增，反之单调递减。
接下来就是最值这个不说纯字面意思，然后是极值它是一个相对的概念就是说它是跟附近的其他点的值比较的。所以极大值就是说它“凸出来”了一小块比周围的所有点的值都要大。那我们就想当x在逐渐增大的时候先是从左边接近这个极大值x0也就是说从左边接近时随着x的增大f(x)也逐渐增大逐渐接近极大值f(x0)，同样的当x大过了x0时因为过了极大值所以f(x)在后面的一段中开始走“下坡路”了，极小值的情况类推。另外极大值跟最大值也就是极值和最值是不能画等号的，这一点大家看图理解一下。另外函数的导数等于0的点我们称之为“驻点”但是极值点不一定都是驻点，驻点也不一定都是极值点，它们是交集的关系。函数的极值点包括“一部分”的驻点和“一部分”的导数不存在的点。关于这个部分在特别篇将有专门的介绍。
接下来就是新内容函数的凹凸性和拐点，这个不太好用语言描述，直接上图了。（同样的文章末尾有文字版说明）
左上凹，右下凹
接下来就是渐近线，这个只有图像还不够我需要说明一下。首先这个渐近线的概念就是函数在变化的过程中总是无限接近某一条直线但永远不相交，比如说y=1/x中在x趋近于无穷的时候y就无限趋近于0，所以x轴就是它的水平渐近线。同样就是这幅图还可以帮我们理解很多事。这么说可能有点抽象感觉像故弄玄虚我们直接上干货。水平渐近线就是当x趋向于无穷的时候y（也就是函数值同时也是极限）趋向于y=n（n为实数）也就是趋近于一条水平的平行于x轴的线。类似的垂直渐近线就是当x趋向于x=n（n为实数）时（也就是一条平行于y轴的线）函数的极限等于函数值等于无穷（因为都是连续函数嘛）。
接下来就是重头戏拉格朗日中值定理和洛必达法则了。首先说拉格朗日中值定理的引入。打个比方其实拉格朗日就做了一件事：假如一辆车由A地到B地平均速度是100km/h，这时候拉格朗日跳出来说：“我打赌你的车一定有某一时刻的瞬时速度等于你的平均速度100迈”（一定存在某一点的导数等于函数区间起止点的连线的斜率，也就是切线斜率与连线斜率相等也就是平行关系）。这里我们先只是讲拉格朗日定理的内容，应用将在下一期的特别篇推出。
然后就是被称为“暴力美学”的洛必达法则了，不过怎么说呢？这玩意说起来让人有点头大因为这个东西的引入是和拉格朗日中值定理的推广柯西中值定理结合的比较紧密的。碍于时间就不展开了（大家记得关注特别篇哦）。我们只讲内容，在面对0/0或者无穷/无穷的这种未定式的时候洛必达法则就直接“暴力拆解”直接分子分母分别求导得极限结果，直接解决了这些未定式无从下手的问题。同时使用洛必达法则的时候必须要满足3个条件：首先是必须是未定式，然后求导的点那里的导数必须存在，最后导数的极限必须存在，或者是无穷也行（不然函数震荡不收敛求用多少次洛必达也没有用）。
接下来就是几种常见的未定式的变形。它们不能直接用洛必达必须先变形处理。第一种是∞*0型和∞-∞型，这两种简单第一种看看哪一个求导容易把它扔到分子上，哪个难一点就留在分母就行。小技巧：0=1/∞，或者∞=1/0这些有时候直接用有奇效。第二种∞-∞更简单，直接通分一般就可以变成标准形式了。
接下来的几组就比较复杂（打字出来也比较复杂，这里用图片说明）。这时候就要使用取对数大法，记住y=e^lny，真的很有用。通过取对数把极限“飞”到指数上面，底数是e就不管。而且由于对数的性质再嚣张的次方也得乖乖变成乘法，可以说是*的简化了呀。
好了我们的正文的全部内容到这里就差不多全部结束了，敬请期待特别篇的应用题目吧。
（注：正如之前的图像所示如果在某一个区间内函数曲线始终位于切线的上方我们就说这个函数曲线是上凹的，反之就是下凹的。根据图可以看出随着函数自变量x的变大，上凹的函数的切线斜率逐渐增大，下凹的就相应的：逐渐减小。我们这个时候把函数曲线的切线看成是一个新的函数再次求导就不难得出上凹函数的切线斜率的变化是一个单调递增的函数（同理，下凹的就是单调减少）此时它们的二阶导数就分别是大于0和小于0.。也就是说只需要判断函数的二阶导数就可以知道它的凹凸性了。另外我们还说当函数的二阶导数等于0的时候就“来到了”函数的拐点，也就是函数的凹凸性改变的地方这个变化在一般的三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d中体现明显，这里也不展开说明了。）
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