更新时间：作者：小小条
一、课前思考—教材为什么要设置这一课
“露在外面的面”是新世纪小学数学（北师大版）教材五年级下册第二单元“长方体（一）”的最后一课。在新世纪成都工作室 “走向深度学*的‘回头看’研究”主题研讨活动中，围绕“空间观念”这一核心词，我们选择了研究这节课。
“长方体（一）”这个单元在学生知识框架中的位置：它是在第一学段初步感知长、正方体基本形态基础上，进一步从“特征”和“表面积”两个维度来认识立体图形，发展空间观念。
图1
本节课是新世纪小学数学（北师大版）教材编排的一个特色内容，安排在“长方体的表面积”之后，内容为解决有关物体表面积的问题。我们对教材问题串中前两个问题（如图1）做了深入的思考：这里的意图难道就仅是能从三个方向去数，得到露出部分的表面积？它与前一节课有着怎样的内在联系？学生可能会有哪些想法可以为目标服务？教材将它安排在这个单元的最后一课有着什么样的考量？我们如何通过这节课的教学，对物体表面积再认识，切实地发展学生的空间观念呢？为此，我们重点对如下问题的作了讨论：
1．物体形态发生了怎样的变化，学生对表面积的认识角度有何不同？
对比前一节“长方体的表面积”和本节课，我们认为主要有三方面的不同：一是从上节课研究了长方体这一基本图形的表面积，到本节课的不规范形体的表面积（我们认为除了教材上的三种形态外，“L型” 在学生的搭建中不可避免的会出现，并且它有着独到的数据优势，因此我们将它添加了进去）；二是从上节课六个面整体的“表面积”，到本节课局部的“露出”的面积；三是从上节课“展开图”的角度研究表面积，到这节课从“三视图”角度来研究表面积。
2．在面积的“数”与“看”中，怎样发展对图形的观察力和想象力？
在学生自己“数”主题图的过程中，可能有三种情形：3个面3个面地“逐块数”，从上到下的“逐层数”，一个方向一个方向的“逐面数”，不论哪种方式都要聚焦“有序思考”，其中“三视图”角度的 “逐面数” 是五年级学生要重点培养的观察能力。从三个方向“数”出的三个面并不在同一平面内，这对部分学生是有一定困难的，我们可以借助“运动”，帮助学生更直观的感知“体”和“面”的内在关系，发展空间观察力和想象力。
3．“露在外面的面”与“长方体表面”究竟有何内在联系？
由于刚学了“长方体表面”，看到“露在外面的面”，很容易联想到“贴墙隐藏的面”，我们通过对面的直观平移，就会很容易发现“露在外面的面”与“贴墙隐藏的面”是对应相等的，进而发现“露在外面的面”其实就是“长方体表面”面积的一半！这个发现，让我们自己非常欣喜，都深刻感受到了这节课带给我们的思考价值，我们要设法引导学生在探究中也有这样的发现和欣喜！
二、课中片段—学生的空间观念得到怎样的培养与发展
带着上述的思考和问题，我们着眼学情不断研究和改进着教学，现将一些有意思的教学片段与大家分享：
片段1：“我想知道……”“我还想知道……”
师：（学生用4个正方体自由搭建后，按形态分别起名为“1”字型、“L”型、“田”字型和“楼梯”型）观察同学们搭在墙角的这些形状，有的部分我们看得到，有的部分看不到，联系前面学*内容——表面积，我们可以提出哪些问题来进行研究呢？
生1：它们的表面积是多少？
生2：我还想知道看得到部分的表面积是多少？
生3：那我还想知道看不到的，也就是靠墙靠地的面积是多少？（板书：露在外面的、靠墙靠地、表面积）
师：同学们的想法都很有意思。那我们就从露在外面的面开始，说不定随着我们的研究，其他问题或许就得到些不一样启发和感觉了。
【效果与反思】
学生的学*不是割裂开来的，一定是能和他们已有的知识经验不断产生联系的，这节课的联系就来自于图形的特征和对表面积的理解。
这一过程达到了两个意图：一是让学生思考露在外面的面是什么？哪儿来的？和我们之前的学*有什么联系？这是关注露出来的面、表面积的意义与本质的联系与区别，感受到知识的生长点所在；二是为关注图形特征埋下伏笔，让学生体会到，这节课可能会对表面积相关的知识有更深入的启发或认识。
片段2：“异中求同”抓关键，好一个“推”字引发动态想象力。
（PPT出示完整主题图的问题：“楼梯”型露出来了多少个小正方形？和同学说说你是怎么数的，有不同的数法吗？）
有的说：（一边指一边说）我是一个正方体一个正方体数的，每个正方体露出来了三个面，所以一共是9个小正方形。
有的说：（一边指一边说）我是从下往上数的，就是4个、2个、2个、1个，一共是9个。
还有的说：我是从上面看、正面看、右面看，三个方向看的，每个方向都看到了3个， 三三得九是9个。
师：我们回头来比较一下，刚才“数”出露出来9个小正方形的问题上，同学们想到了大概三种方法：一块一块的数、一层一层的数、一个方向一个方向的数，这些看起来不同的数法中有什么共同之处吗，都该注意什么呢？
生1：我们是都按一定的顺序在数。
生2：我们要注意有序思考， 这样才能不重不漏。
师：是的，大家能不重不漏的准确数出来，因为都在有序观察！（板书：有序观察：逐个、逐层、逐面）同学们还能对自己的方法进行回头看、点评，真好！相比之下你认为哪种观察角度对提升我们五年级的思维能力更有帮助？
学生几乎众口一词：从三个方向去观察。
接下来组织学生用“三个方向观察”的方法数出“1”字型、“L”型和“田”字型各露出来了多少个小正方形。
师：那么在从三个方向观察的过程中，每个角度看过去在你眼里都是什么样的呢？
学生用手比划三个方向看上去的形状。
师：一个立体的物体在你眼里咋就看了三个平面，你是怎么做到的？
生1：从正面看过去有的面被挡住了是看不见了。只能看到这三个正方形在一起。
生2：我同意！从正面看到的这三个正方形虽然不在一起，但都是从正面可以看到的
生 3：如果把后面那两个正方形往前“推一推”三个面就连在一起了。
师:（抓住机会，顺势而为）“推一推”“连在一起”，什么意思，谁能理解？上来比划比划。
生4：我觉得就是把右下角这个面往前拉一下，就和左边这个面连着了，就容易看了。左上角这个也是一样的。
生5：其实还可以把左下角这个正方形往后推推，只推一个，这样更快！
生 6：右边这个面的三个正方形也可以这样“推”连在一起。
......
师：好一个“推”和“拉”的动作！（动画演示）静静的积木表面在同学们脑海里动了起来，不规则的立体图形被大家这么一“推”一“拉”，也就是咱们以往学过的“平移”，就把它们移到一个平面，这背后是你们了不起的空间想象能力！
【效果与反思】
在这个环节中，同学们用三种方法数出了露出来多少个小正方形，体现出了不同的思考过程和思维层次，通过回头看“你们认为这些方法有何共同之处？”的设问与评价，让学生明白有序思考的重要性，也是让学生学会审视、补充自己现有的方法、经验，“能够批判性的学*新的思想和事实。”
好一个“推”与“拉”！在学生的不断深入的讨论启发和动态课件演示中， 几个小正方形通过图形的“平移”运动就到同一平面上，尽管学生还没有正式学*面的平移知识，但借助手势描述和动态演示，他们是能想象和理解的。让学生在空间直观和空间想象中，进一步体会将三维空间直观表达在二维平面上这一图形抽象的本质。
片段3：“原来今天的这些形状的表面积，其实和长方体是一样！”
（数了4种摆法各露出来多少个面以后）
师：我们观察研究了露在外面的面积。现在静下来看一看、想一想，对于大家刚才提出的靠墙靠地的面的表面积，它和露出来的面的面积大小怎样，咱们可以先观察“1字型”和“田字型”，说说你又有什么进一步的发现吗？
生1：我发现露出来的面和靠墙靠地的面的面积好像是相等的。
生2：我同意，你看上面和下面相等，左面和右面相等，相对的面都相等（ 指着“1 字型” 和“田字型”解释）
师：其实这种（L型）也一样，靠墙靠地的小正方形的三个面也是4个、3个、2个（教师随后播放“L型”的动态PPT，让学生再次观察理解）。
（学生们讨论渐渐积极起来， 甚至越来越激动）
“老师，我发现、我发现了！它们对着的面都是相等的！”
“我发现露在外面的面就是表面积的一半！”
“哇，没想到露在外面的面和表面积还有这样的秘密！”
师：同学们，你们看到了露出来的面，还看到了一般人看不到的面， 由此找到了藏得如此之深的特征！让我们知道它们和我们以前学过的长正方体还有如此联系！
【效果与反思】
到此，按说已经基本完成了本课任务，可作为“深度学*”的主题研究，我们觉得这里的思考还可以往前走一步！教师引导学生回到课前提出的表面积、靠墙靠地面积的问题，希望学生能够通过观察比较，建立知识间的内在联系，有结构的学*。教师引导学生从四种情况进行观察和想象，学生的确有了“进一步的发现”：我想看看其他形状是不是也有这样的特点，并主动用其他形状加以验证。在这样的联系中，学生发现今天这些“异型”体的表面积的特征其实是和长方体相同的，都是相对的面大小相等，由此它们的表面积就刚好是露出来的面的面积的2倍。这个发现让学生和现场老师们都有点惊喜激动、前后贯通的感觉！
片段 4 “太神奇了！” “没想到还有这样的联系！”
师：（课末“回头看”，回放探究过程的PPT，如图）这节课我们经历了这几个探究环节，这个过程中你有什么印象深刻的认识和感觉？
每次在最后这个环节，学生的回答都让我们欣喜不已，现摘录部分来分享一下吧！
“没想到这两种（L型、楼梯型）也是相对的面大小相等。”
“太神奇了！这些怪怪的形状竟然跟长方体一样。”
“如果知道了露在外面的面的大小，直接乘2就能算出表面积啦！”
“我知道所有这样的形状都是相对的面大小相等。”
“你的话不准确，只是今天这样紧靠墙角的有这样的关系，其他的我们还不知道呢。”
“我知道了观察的角度除了一个一个数，还可以从不同方向看成平面的， 而且今天这些图形的特征和长方体一样！”
“我刚开始的时候看到的就是小正方体紧靠墙角堆起来，没想到跟上节课长方体的表面积还有这么多一样的关系！”
【效果与反思】
课末“回头看”，通过回放重要环节 PPT 的形式带领学生回忆整节课的过程，加上有关键环节的“回头看”。学生的表达，不仅有对今天形状特征与方法的理解和联系，也感慨数学内在联系的神奇美，还出现了批判性思维的一些雏形——是否所有的形状都有这样的特征？在这些主动想问题和由衷感慨的背后，流露出的是学生积极主动的学*状态，以及对于有这样的观察角度和联系带来思维冲击，这个冲击之下，沉淀出他们对图形特征和表面积相关知识的进一步结构化的理解，对数学的兴趣和对科学的敬畏！
三、课后反思—怎样在“深度学*”和“回头看”中发展空间观念
深度学*，透过现象看本质，本节课通过从不同角度观察紧靠墙角的四个小正方体——想象把不同平面上的正方形平移到一个平面上，到找露出来的面和表面积之间的关系——发现它们竟然和长方体一样，也具有相对面大小相等的特征，这样的角度和联系是大多数学生上课前难以想到的。
课中，我们抓住对“大问题”的关键性设问、有针对性的评价导向，以及重点环节后的“回头看”，让学生在挑战性任务驱动下，积极的观察、想象、比划、联想、讨论，通过与已有认知的联系比较，有了对方法和知识联系上的惊喜发现，更有一份冲击感——这份基于对教材理解、数学本质、尊重学情、教学过程的深入思考和精心设计后的带来的冲击感，给学生和观课老师都留下了深刻的印象，大家会将这份关于发展空间观念下，重视角度和联系的经验，带入今后的学*和教学思考中，让数学学*更加本质、更有联系、更积极主动！
作者：孙玉薇（四川省成都市草堂小学）
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