数学必修二第六章向量共线定理与等和线问题教学建议

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高中数学必修二第26页例1（如下图）为我们展示了三点共线问题的结论.

由此我们得到平面向量的共线定理.

第一、平面向量的共线定理

定理：已知，是三点共线的充要条件

若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且，

证明：A，B，C三点共线是的充要条件.

第二、平面向量的等和线问题

由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若

(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又

(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k(λ+μ)= k；反之也成立.

平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，

则（定值），反之也成立，

我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。

线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。

①当等和线恰为直线AB时，k=1；

②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；

③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；

④当等和线过O点时，k=0；

⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.

方法：和相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过

在高考和模拟考试中，涉及“系数和（等和线、等值线）定理”的题目频繁出现。同学们在解答这类问题时，常常需要通过建立坐标系或利用角度与数量积的方法来处理。然而，由于解题思路不够清晰和解题过程的复杂性，得分率往往不高。

相比之下，向量三点共线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算。这种数形结合的思想不仅得到了有效体现，而且为解决相关问题提供了新的思路，大家可以先看看这种不同方法，可以帮助你迅速解决这类问题.

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