更新时间：作者：小小条
2025年辽宁数学单招试题及答案
一、单项选择题
1. 已知集合\(A = \{1, 2, 3\}\)，\(B = \{2, 3, 4\}\)，则\(A\cap B = (\ )\)
A. \(\{2, 3\}\)
B. \(\{1, 2, 3, 4\}\)
C. \(\{1, 4\}\)
D. \(\varnothing\)
答案：A
2. 函数\(y = \sqrt{x - 1}\)的定义域是\((\ )\)
A. \((-\infty, 1)\)
B. \((-\infty, 1]\)
C. \((1, +\infty)\)
D. \([1, +\infty)\)
答案：D
3. 若\(\sin\alpha = \frac{1}{2}\)，且\(\alpha\)是第二象限角，则\(\cos\alpha = (\ )\)
A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
B. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
答案：B
4. 等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1 = 2\)，\(a_3 = 6\)，则\(a_2 = (\ )\)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：B
5. 直线\(2x + y - 3 = 0\)的斜率是\((\ )\)
A. 2
B. -2
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(-\frac{1}{2}\)
答案：B
6. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m = (\ )\)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案：C
7. 函数\(y = 2^x\)的反函数是\((\ )\)
A. \(y=\log_2x(x\gt0)\)
B. \(y=\log_2x(x\in R)\)
C. \(y = \frac{1}{2^x}(x\in R)\)
D. \(y = 2^{-x}(x\in R)\)
答案：A
8. 不等式\(x^2 - 4\lt0\)的解集是\((\ )\)
A. \((-2, 2)\)
B. \((-\infty, -2)\cup(2, +\infty)\)
C. \((-2, +\infty)\)
D. \((-\infty, 2)\)
答案：A
9. 从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人参加活动，至少有一名女生的选法有\((\ )\)种
A. 10
B. 30
C. 50
D. 60
答案：C
10. 圆\((x - 1)^2+(y + 2)^2 = 4\)的圆心坐标和半径分别是\((\ )\)
A. \((1, -2)\)，\(2\)
B. \((-1, 2)\)，\(2\)
C. \((1, -2)\)，\(4\)
D. \((-1, 2)\)，\(4\)
答案：A
二、多项选择题
1. 下列函数中，是偶函数的有\((\ )\)
A. \(y = x^2 + 1\)
B. \(y = x^3\)
C. \(y=\frac{1}{x^2}\)
D. \(y = |x|\)
答案：ACD
2. 下列关于三角函数的说法正确的有\((\ )\)
A. \(y=\sin x\)的周期是\(2\pi\)
B. \(y = \cos x\)在\([0,\pi]\)上单调递减
C. \(y=\tan x\)的定义域是\(\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\}\)
D. \(y=\sin x\)和\(y = \cos x\)的值域都是\([-1,1]\)
答案：ABCD
3. 下列数列是等比数列的有\((\ )\)
A. \(1, -2, 4, -8\)
B. \(0, 1, 2, 4\)
C. \(a,a,a,a\)（\(a\neq0\)）
D. \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}\)
答案：ACD
4. 下列直线中，与直线\(x + y - 1 = 0\)平行的有\((\ )\)
A. \(x + y + 1 = 0\)
B. \(2x + 2y - 3 = 0\)
C. \(x - y + 1 = 0\)
D. \(2x - 2y + 3 = 0\)
答案：AB
5. 已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(2, -1)\)，则下列结论正确的有\((\ )\)
A. \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\)
B. \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{2}\)
C. \(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为锐角
D. \(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影为\(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\)
答案：ABD
6. 下列关于函数单调性的说法正确的有\((\ )\)
A. \(y = x^2\)在\((-\infty,0)\)上单调递减
B. \(y=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上单调递减
C. \(y = 2^x\)在\(R\)上单调递增
D. \(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)在\((0,+\infty)\)上单调递减
答案：ACD
7. 已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则下列结论正确的有\((\ )\)
A. \(A\cap B=\{2,3\}\)
B. \(A\cup B=\{1,2,3,4\}\)
C. \(A\subseteq B\)
D. \(B\subseteq A\)
答案：AB
8. 下列不等式中，解集为\(R\)的有\((\ )\)
A. \(x^2 + 2x + 3\gt0\)
B. \(x^2 - 2x + 1\gt0\)
C. \(2x^2 + x + 1\gt0\)
D. \(-x^2 + 2x - 3\gt0\)
答案：AC
9. 下列事件中，是随机事件的有\((\ )\)
A. 明天会下雨
B. 抛一枚硬币，正面朝上
C. 三角形内角和为\(180^{\circ}\)
D. 掷一颗骰子，点数为\(7\)
答案：AB
10. 已知圆\(C_1:(x - 1)^2+(y - 2)^2 = 1\)，圆\(C_2:(x - 3)^2+(y - 4)^2 = 4\)，则两圆的位置关系可能是\((\ )\)
A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切
答案：ABC
三、判断题
1. 空集是任何集合的子集。（ ）
答案：√
2. 函数\(y = \tan x\)的周期是\(\pi\)。（ ）
答案：√
3. 若\(a\gt b\)，则\(ac^2\gt bc^2\)。（ ）
答案：×
4. 等差数列\(\{a_n\}\)中，若\(m + n = p + q\)，则\(a_m + a_n = a_p + a_q\)。（ ）
答案：√
5. 直线\(Ax + By + C = 0\)（\(A\)，\(B\)不同时为\(0\)）的斜率是\(-\frac{A}{B}\)。（ ）
答案：×
6. 向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)与\(\overrightarrow{b}=(2,4)\)共线。（ ）
答案：√
7. 函数\(y = \log_2x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。（ ）
答案：√
8. 不等式\(x^2 - 2x + 1\leqslant0\)的解集是\(\{1\}\)。（ ）
答案：√
9. 从\(10\)个不同的元素中取出\(3\)个元素的组合数记为\(A_{10}^3\)。（ ）
答案：×
10. 圆\(x^2 + y^2 = r^2\)的圆心是\((0,0)\)，半径是\(r\)。（ ）
答案：√
四、简答题
1. 求函数\(y = \sin^2x+\cos x\)的值域。
答案：首先将函数变形，\(y=\sin^{2}x+\cos x = 1-\cos^{2}x+\cos x\)，令\(t = \cos x\)，则\(t\in[-1,1]\)，函数变为\(y=-t^{2}+t + 1\)。其对称轴为\(t =-\frac{1}{2\times(-1)}=\frac{1}{2}\)，当\(t=\frac{1}{2}\)时，\(y_{max}=-(\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}+1=\frac{5}{4}\)；当\(t=-1\)时，\(y=-(-1)^{2}-1 + 1=-1\)，所以函数的值域是\([-1,\frac{5}{4}]\)。
2. 已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3 = 5\)，\(a_7 = 13\)，求\(\{a_n\}\)的通项公式。
答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，则\(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d\)。由\(a_{3}=a_{1}+2d = 5\)，\(a_{7}=a_{1}+6d = 13\)，用\(a_{7}\)的式子减去\(a_{3}\)的式子得\(4d = 8\)，解得\(d = 2\)。把\(d = 2\)代入\(a_{1}+2d = 5\)，得\(a_{1}+2\times2 = 5\)，\(a_{1}=1\)。所以\(a_{n}=1+(n - 1)\times2=2n - 1\)。
3. 求过点\((2, -1)\)且与直线\(2x - y + 1 = 0\)平行的直线方程。
答案：已知所求直线与直线\(2x - y + 1 = 0\)平行，则所求直线斜率与已知直线斜率相等，直线\(2x - y + 1 = 0\)可化为\(y = 2x+1\)，斜率\(k = 2\)。设所求直线方程为\(y = 2x + b\)，因为直线过点\((2, -1)\)，把点代入方程得\(-1=2\times2 + b\)，解得\(b=-5\)，所以所求直线方程为\(2x - y - 5 = 0\)。
4. 已知集合\(A=\{x|x^2 - 3x + 2 = 0\}\)，\(B=\{x|ax - 2 = 0\}\)，若\(B\subseteq A\)，求实数\(a\)的值。
答案：先求解集合\(A\)，由\(x^{2}-3x + 2 = 0\)，即\((x - 1)(x - 2)=0\)，得\(x = 1\)或\(x = 2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。当\(B=\varnothing\)时，\(ax - 2 = 0\)无解，此时\(a = 0\)；当\(B\neq\varnothing\)时，若\(x = 1\)是\(ax - 2 = 0\)的解，则\(a\times1-2 = 0\)，\(a = 2\)；若\(x = 2\)是\(ax - 2 = 0\)的解，则\(a\times2-2 = 0\)，\(a = 1\)。综上，\(a = 0\)或\(a = 1\)或\(a = 2\)。
五、讨论题
1. 讨论函数\(y = a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的单调性，并说明理由。
答案：当\(a\gt1\)时，设\(x_{1}\lt x_{2}\)，则\(y_{1}=a^{x_{1}}\)，\(y_{2}=a^{x_{2}}\)，\(\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{a^{x_{2}}}{a^{x_{1}}}=a^{x_{2}-x_{1}}\)，因为\(x_{2}-x_{1}\gt0\)，\(a\gt1\)，所以\(a^{x_{2}-x_{1}}\gt1\)，即\(y_{2}\gt y_{1}\)，所以\(y = a^{x}\)在\(R\)上单调递增。当\(0\lt a\lt1\)时，设\(x_{1}\lt x_{2}\)，\(\frac{y_{2}}{y_{1}}=a^{x_{2}-x_{1}}\)，因为\(x_{2}-x_{1}\gt0\)，\(0\lt a\lt1\)，所以\(a^{x_{2}-x_{1}}\lt1\)，即\(y_{2}\lt y_{1}\)，所以\(y = a^{x}\)在\(R\)上单调递减。
2. 讨论直线\(y = kx + 1\)与圆\(x^2 + y^2 = 1\)的位置关系。
答案：圆\(x^{2}+y^{2}=1\)的圆心坐标为\((0,0)\)，半径\(r = 1\)。根据点到直线距离公式，圆心\((0,0)\)到直线\(y=kx + 1\)即\(kx - y+1 = 0\)的距离\(d=\frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\)。当\(d\gt r\)，即\(\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\gt1\)，此不等式无解；当\(d = r\)，即\(\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=1\)，解得\(k = 0\)，此时直线与圆相切；当\(d\lt r\)，即\(\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\lt1\)，\(k^{2}+1\gt1\)，\(k\neq0\)，此时直线与圆相交。
3. 讨论数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)与\(a_n\)的关系。
答案：当\(n = 1\)时，\(a_{1}=S_{1}\)。当\(n\geqslant2\)时，\(a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}\)。若已知\(S_{n}\)求\(a_{n}\)，先求\(a_{1}=S_{1}\)，再当\(n\geqslant2\)时用\(a_{n}=S_{n}-S_{
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