更新时间：作者：小小条
对于n阶矩阵A，伴随矩阵A*有个重要公式：A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n减一次幂，即|A*|=|A|^(n-1)。这个公式可以通过分情况讨论来证明，核心是利用伴随矩阵的基本关系AA*=|A|E（A乘A*等于A的行列式乘单位矩阵）。
先看A可逆的情况。如果A可逆，说明|A|不等于0。对AA*=|A|E两边取行列式，左边是两个矩阵乘积的行列式，等于|A|乘|A*|；右边是|A|E的行列式，n阶单位矩阵E的行列式是1，k倍单位矩阵的行列式是k的n次方，所以右边等于|A|的n次方。于是有|A||A*|=|A|^n，两边除以|A|（因为可逆，|A|≠0），直接得到|A*|=|A|^(n-1)。
再看A不可逆的情况，这时候|A|=0。接下来分两种情况分析A的秩r(A)：如果r(A)≤n-2，比如n=5，r(A)=3，这时候A中每个元素的代数余子式都是n-1阶行列式，而余子式对应的子矩阵秩不超过n-2，所以余子式全为0，整个A*就是零矩阵，行列式自然是0，刚好等于|A|^(n-1)=0；如果r(A)=n-1，比如n=4，r(A)=3，这时候A*的秩是1，行列式还是0，同样满足公式。不管哪种情况，|A*|都等于|A|^(n-1)。
举个简单例子验证：二阶矩阵A=[[1,2],[3,4]]，行列式|A|=1×4-2×3=-2。A的伴随矩阵A*是主对角线元素交换、副对角线元素变号，即[[4,-2],[-3,1]]。计算|A*|=4×1 - (-2)×(-3)=4-6=-2，正好等于|A|^(2-1)=-2。再比如三阶矩阵A=[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]，行列式|A|=0（行向量线性相关），A的伴随矩阵行列式也为0，符合公式。
这个公式把伴随矩阵的行列式和原矩阵的行列式联系起来，是线性代数中伴随矩阵的重要性质，无论是计算还是证明都经常用到。
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