一、二次函数的基础计算与表达式求解

（一）表达式形式转化与求解

顶点式与一般式转化：通过配方法将一般式\(y=ax^2+bx+c\)化为顶点式\(y=a(x-h)^2+k\)，可直接确定顶点\((h,k)\)与对称轴\(x=h\)。如第 30 题将\(y=x^2-4x+3\)配方为\(y=(x-2)^2-1\)；第 20 题将\(y=x^2-4x-1\)配方为\(y=(x-2)^2-5\)，进而得出顶点\((2,-5)\)与对称轴\(x=2\)。待定系数法求表达式：根据已知点坐标（如与坐标轴交点、顶点、表格数据）代入对应表达式（一般式、顶点式、交点式）求解系数。如第 3 题已知二次函数过\(A(0,3)\)、\(B(2,3)\)，代入一般式\(y=ax^2-2x+c\)，解得\(a=1\)、\(c=3\)，表达式为\(y=x^2-2x+3\)；第 16 题根据表格中\((-1,0)\)、\((0,-3)\)、\((1,-4)\)三点，代入一般式求得\(y=x^2-2x-3\)。

（二）核心参数计算

对称轴与顶点坐标：一般式中，对称轴公式为\(x=-\frac{b}{2a}\)，顶点纵坐标为\(y=\frac{4ac-b^2}{4a}\)。如第 1 题抛物线\(y=x^2-2bx\)，对称轴为\(x=-\frac{-2b}{2}=b\)；第 8 题当\(n=m\)时，抛物线\(y=nx^2-2mx-3\)的对称轴为\(x=-\frac{-2m}{2n}=1\)。顶点式中，直接读取顶点\((h,k)\)与对称轴\(x=h\)。如第 4 题已知抛物线最低点（顶点）\(C(2,-1)\)，设顶点式\(y=a(x-2)^2-1\)，代入\(M(4,1)\)求得\(a=\frac{1}{2}\)，表达式为\(y=\frac{1}{2}(x-2)^2-1\)。与坐标轴交点：令\(x=0\)求与y轴交点（\((0,c)\)），令\(y=0\)求与x轴交点（解方程\(ax^2+bx+c=0\)）。如第 9 题\(y=x^2-4x+3\)，令\(y=0\)得\(x=1\)或\(x=3\)，与x轴交点为\((1,0)\)、\((3,0)\)；令\(x=0\)得\(y=3\)，与y轴交点为\((0,3)\)。

二、二次函数的图象性质应用

（一）增减性与最值分析

增减性判断：由开口方向（\(a>0\)向上，\(a<0\)向下）与对称轴共同决定：\(a>0\)：对称轴左侧（\(x<h\)）y随x增大而减小，右侧（\(x>h\)）增大；\(a<0\)：对称轴左侧（\(x<h\)）y随x增大而增大，右侧（\(x>h\)）减小。例：第 1 题中，点\(A(-1,y_1)\)、\(B(m,y_2)\)（\(m≥1\)）在\(y=x^2-2bx\)上，需\(y_2>y_1\)，结合对称轴\(x=b\)与增减性，推导得\(b<0\)；第 29 题\(y=-x^2+4x-7\)（\(a<0\)，对称轴\(x=2\)），当\(2<x_1<x_2\)时，y随x增大而减小，故\(y_1>y_2\)。最值计算：\(a>0\)时，顶点纵坐标为最小值；\(a<0\)时，顶点纵坐标为最大值。如第 3 题\(y=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)（\(a>0\)），在\(-1≤x≤2\)范围内，\(x=-1\)时y取最大值 6；第 11 题炮弹飞行轨迹抛物线过\((1,27)\)、\((5,27)\)，对称轴\(x=3\)，顶点\((3,47)\)，故最高高度为 47 米。

（二）对称性应用

对称点求解：抛物线上纵坐标相等的两点，横坐标中点为对称轴；已知一点与对称轴，可求其对称点。如第 11 题炮弹抛物线过\((1,27)\)、\((5,27)\)，对称轴为\(x=3\)；第 21 题当\(t=2\)（对称轴\(x=2\)），若\(y_1=y_2\)，则\(x_1+x_2=2×2=4\)。对称性质在不等式中的应用：如第 15 题抛物线\(y=ax^2-2a^2x+c\)（对称轴\(x=a\)），点\(A(-a,y_1)\)的对称点为\((3a,y_1)\)，结合\(a>0\)时的增减性，推导n的取值范围为\(n≤-2\)或\(n≥3\)。

三、二次函数与方程、不等式的综合

（一）与一元二次方程的关系

方程根的意义：抛物线与x轴交点横坐标即为方程\(ax^2+bx+c=0\)的解。如第 14 题当\(m=1\)时，\(y=x^2-2x-3\)，令\(y=0\)得\(x=3\)或\(x=-1\)，故与x轴交点为\((3,0)\)、\((-1,0)\)；第 22 题方程\(ax^2+bx+c=5\)的解，可通过\(x=-2\)时\(y=5\)，结合对称轴\(x=1\)，求得对称点\(x=4\)，故解为\(x_1=-2\)、\(x_2=4\)。根的判别式应用：判断方程根的个数，或结合顶点位置求解参数。如第 8 题抛物线\(y=kx^2+2x-1\)顶点在x轴上，说明方程\(kx^2+2x-1=0\)有两个相等实根，\(\Delta=2^2-4k×(-1)=0\)，解得\(k=-1\)。

（二）与不等式的关系

不等式解集：\(ax^2+bx+c>k\)（或\(<k\)）的解集，即抛物线\(y=ax^2+bx+c\)在直线\(y=k\)上方（或下方）对应的x范围。如第 5 题方程\(ax^2+bx+c=k\)总有两个正实根，即\(y=ax^2+bx+c\)与\(y=k\)的交点横坐标均为正，结合抛物线顶点\((1,4)\)与x轴交点，得\(3<k<4\)；第 21 题当\(3<x_3<4\)时\(y_1>y_3>y_2\)，结合对称点与增减性，推导t的范围为\(1≤t≤2\)或\(5≤t≤6\)。函数值大小比较：通过两点到对称轴的距离判断函数值大小（\(a>0\)时，距离越远值越大；\(a<0\)时相反）。如第 6 题点\(A(2,y_1)\)、\(B(b,y_2)\)、\(C(b+1,y_3)\)在\(y=x^2+bx\)上，\(y_3<y_1<y_2\)，即C到对称轴距离\(<A\)到对称轴距离\(<B\)到对称轴距离，解得\(-\frac{3}{2}<b<-1\)。

四、二次函数的实际应用

（一）抛射类问题（篮球、炮弹、水柱）

建模步骤：建立平面直角坐标系：通常以抛出点 / 发射点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。确定抛物线表达式：根据顶点（最高点）、与坐标轴交点等条件，设顶点式或一般式，用待定系数法求解。代入求解实际问题：如求最大高度、落地距离、特定位置高度等。实例分析：第 2 题篮球投篮：小华投篮的抛物线顶点为\((3,4.05)\)，设顶点式\(y=a(x-3)^2+4.05\)，代入\((0,1.8)\)得\(a=-\frac{1}{4}\)，当\(x=5\)（篮筐水平距离）时\(y=3.05\)，故能投进；小明投篮表达式为\(y=-0.3x^2+bx+c\)，结合出手高度\(2≤y≤2.05\)与篮筐坐标\((5,3.05)\)，求得\(1.7≤b≤1.71\)。第 11 题炮弹轨迹：抛物线过\((1,27)\)、\((5,27)\)，对称轴\(x=3\)，设顶点式\(h=a(t-3)^2+47\)，代入\((1,27)\)得\(a=-5\)，当\(h=42\)时，解得\(t=2\)或\(t=4\)。

（二）几何图形面积问题

建立函数关系：根据几何图形的边长、周长等条件，推导面积与自变量的函数关系（常为二次函数）。如第 12 题用 8m 篱笆围等腰三角形和矩形，矩形面积\(y_2=x×\frac{8-x}{2}\)（\(x=BC=TS\)），等腰三角形面积\(y_1\)通过表格数据分析。结合图象求解：通过函数图象的交点、最值等，解决面积相等、倍数关系等问题。如第 12 题中，\(S_{\triangle ABC}=S_{矩形PQST}\)对应\(y_1\)与\(y_2\)图象交点，横坐标约为 4.7；\(S_{\triangle ABC}=2S_{矩形PQST}\)对应\(y_1=2y_2\)，横坐标约为 7.1。

（三）其他实际场景（舒适度、限高）

舒适度问题：第 28 题听觉舒适度y与音量x满足二次函数，顶点为\((55,10)\)（最大值），设顶点式\(y=a(x-55)^2+10\)，代入\((45,6)\)得\(a=-\frac{1}{25}\)，当\(y≥9\)时，解得\(50≤x≤60\)，再结合音量x与距离d的图象，得\(1.2≤d≤4.0\)。隧道限高问题：第 24 题隧道顶抛物线表达式为\(y=-\frac{1}{4}x^2+4\)（\(-2≤x≤2\)），卡车宽 2.4 米，行驶在正中间，对应\(x=±1.2\)，此时隧道高度\(y=3.64\)，结合E到D距离不小于 0.6 米，得限高约 3.0 米。

五、二次函数的综合变换与新定义问题

（一）图象变换

平移变换：遵循 “左加右减自变量，上加下减常数项”，针对顶点式操作。如第 20 题\(y=x^2\)向右平移 2 个单位、向下平移 5 个单位，得到\(y=(x-2)^2-5=x^2-4x-1\)；第 26 题\(y=x^2+4x+3=(x+2)^2-1\)向右平移 3 个单位，得到\(y=(x-1)^2-1\)。翻折变换：第 14 题将抛物线\(y=(x-m)^2-4\)在x轴上方部分沿x轴翻折，新函数G的图象需分区间讨论，结合\(-2<x_1<-1\)时\(y_1<y_2\)（\(x_2=-1\)），求得\(m≥1\)或\(-3≤m≤-\frac{3}{2}\)。

（二）新定义问题

“距离很远” 定义：第 7 题中，若\(|x_1-x_2|≥1\)或\(|y_1-y_2|≥1\)，则两点 “距离很远”。需结合抛物线\(y=ax^2\)的性质，分\(a>0\)、\(a<0\)讨论，确保抛物线上任意一点到\(A(3,0)\)、\(B(3,3)\)均 “距离很远”，求得\(a≥1\)或\(a≤-\frac{1}{4}\)。运动区域面积：第 7 题点P在\(\triangle OAB\)内，且到O、A、B、Q（Q在\(y=\frac{2}{3}x\)上）均 “距离很远”，通过画图分析P的运动区域，得最小面积为\(\frac{1}{3}\)，此时\(Q(2,\frac{4}{3})\)。

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