更新时间：作者：小小条
量子力学的建立为理解光与物质的相互作用提供了坚实的理论基础。在激光物理学中,原子或分子在不同能级之间的跃迁过程是产生相干光的根本机制。要定量描述这些跃迁过程,就必须借助量子力学中的微扰理论。费米黄金定则正是在这一框架下推导出来的,它给出了系统在外界微扰作用下从一个量子态跃迁到另一个量子态的概率表达式。这一定则以意大利裔美国物理学家恩里科·费米的名字命名,尽管其数学形式最早由保罗·狄拉克在二十世纪二十年代末期导出。费米黄金定则在原子物理、凝聚态物理、核物理以及激光物理等多个领域都有广泛应用。在激光原理中,它是理解受激吸收、自发辐射和受激辐射三个基本过程的理论工具,同时也是计算爱因斯坦系数、分析激光增益特性以及研究光谱线型的重要基础。本文将从含时微扰理论出发,推导费米黄金定则的数学表达式,然后着重讨论该定则在激光物理中的具体应用,并通过若干实验案例说明其实际意义。
费米黄金定则的物理起源与数学推导在量子力学中,当一个系统受到外界微扰作用时,系统的状态会随时间发生变化。如果微扰足够弱,可以采用微扰理论来处理这一问题。设系统的哈密顿量可以写成两部分之和:一部分是未受扰动时的哈密顿量,另一部分是随时间变化的微扰项。在激光物理的语境下,这个微扰通常来自电磁场与原子之间的相互作用。假设系统初始时刻处于某个定态,在微扰作用下,系统有一定概率跃迁到其他定态。含时微扰理论的任务就是计算这个跃迁概率。
考虑一个原子系统,其未扰哈密顿量的本征态记为|n⟩,对应的本征能量为E_n。当电磁波照射到原子上时,原子中的电子会感受到振荡电场的作用。在偶极近似下,这种相互作用可以用电偶极矩与电场的乘积来描述。设微扰从某一时刻开始作用,系统最初处于基态|i⟩。根据一阶微扰理论,经过足够长的时间后,系统跃迁到末态|f⟩的概率振幅可以通过对微扰矩阵元进行时间积分得到。
当微扰具有确定的频率时,例如单色光照射原子的情形,跃迁概率的计算涉及到一个关于频率失谐量的积分。这里的频率失谐量是指光场的频率与原子跃迁频率之差。当光场频率与跃迁频率精确匹配时,即发生共振,跃迁概率达到最大。对于持续作用的周期性微扰,跃迁概率随时间线性增长,这表明可以定义一个与时间无关的跃迁速率。经过严格的数学推导,得到的跃迁速率表达式就是费米黄金定则:
W_i→f = (2π/ħ) * |⟨f|H'|i⟩|^2 * ρ(E_f)
在这个公式中,W_i→f表示单位时间内从初态|i⟩跃迁到末态|f⟩的概率,ħ是约化普朗克常数,⟨f|H'|i⟩是微扰哈密顿量在初态和末态之间的矩阵元,ρ(E_f)是末态的态密度函数。态密度函数描述了在能量E_f附近单位能量间隔内量子态的数目,它的出现反映了能量守恒的要求:只有当末态能量与初态能量加上光子能量相匹配时,跃迁才能有效发生。
费米黄金定则的物理意义十分清晰。跃迁速率与微扰矩阵元的模方成正比,这说明微扰越强,或者初态与末态之间的耦合越紧密,跃迁就越容易发生。同时,跃迁速率也与末态的态密度成正比,这意味着如果末态附近有更多可供跃迁的量子态,总的跃迁速率就会更大。在实际的原子系统中,由于各种展宽机制的存在,原子的能级并非数学上的无限细线,而是具有一定的宽度,因此态密度函数通常表现为以跃迁能量为中心的峰形分布。
电偶极跃迁与爱因斯坦系数的量子解释在激光物理中,光与物质的相互作用主要通过电偶极跃迁实现。当原子处于电磁波的作用下,电子会在振荡电场中做受迫振动。在量子力学框架内,这种相互作用用电偶极相互作用哈密顿量描述。对于线偏振光,微扰哈密顿量的形式可以写成电子电荷、电子位置算符与电场振幅的乘积。将这个表达式代入费米黄金定则,就可以计算出受激吸收和受激辐射的跃迁速率。
一九一七年,爱因斯坦在研究黑体辐射问题时,从热力学平衡的角度引入了三个描述光与原子相互作用的系数:受激吸收系数B_12、受激辐射系数B_21和自发辐射系数A_21。这三个系数之间存在确定的关系,但爱因斯坦当时采用的是唯象的处理方法,并未从微观理论出发推导这些系数的具体数值。费米黄金定则的建立使得从量子力学第一性原理计算爱因斯坦系数成为可能。
利用费米黄金定则计算受激辐射速率时,需要确定微扰矩阵元和末态的态密度。对于原子从高能级|2⟩向低能级|1⟩跃迁并发射一个光子的过程,微扰矩阵元包含电偶极矩矩阵元,它定义为:
μ_21 = e * ⟨2|r^|1⟩
这里e是电子电荷,r^是电子的位置矢量算符。电偶极矩矩阵元的大小决定了跃迁的强弱,它与原子波函数的空间分布密切相关。只有当初态和末态的波函数在空间上有足够的重叠,且满足一定的对称性要求时,电偶极矩矩阵元才不为零。这些对称性要求就是著名的选择定则,例如角量子数的变化必须满足Δl = ±1,磁量子数的变化满足Δm = 0, ±1等。
将电偶极相互作用的矩阵元代入费米黄金定则,并对光场的偏振方向和传播方向进行平均,可以得到受激辐射系数B_21的表达式:
B_21 = (π * |μ_21|^2)/(3 * ε_0 * ħ^2)
这个结果表明,受激辐射系数完全由电偶极矩矩阵元决定,而电偶极矩矩阵元又取决于原子的波函数,因此原子的内禀性质决定了其与光场相互作用的强弱。类似地,受激吸收系数B_12也可以用费米黄金定则计算,结果与B_21相等,这与爱因斯坦从热力学论证得出的结论完全一致。
自发辐射系数A_21的计算需要用到量子电动力学,因为自发辐射涉及到真空电磁场的量子涨落。即使在没有外加光场的情况下,真空中仍然存在零点能涨落,这种涨落可以诱发原子从激发态向基态跃迁并发射光子。利用量子电动力学的方法,可以证明自发辐射系数与受激辐射系数之间的关系为:
A_21 = (ω^3 * ħ)/(π^2 * c^3) * B_21
这里ω是跃迁角频率,c是光速。这个关系说明,对于频率越高的跃迁,自发辐射相对于受激辐射越占优势。这也解释了为什么在可见光和紫外波段实现激光比在微波波段困难得多:前者的自发辐射损耗要大得多。
费米黄金定则与光谱线型函数在理想情况下,原子能级是无限窄的谱线,跃迁只在严格满足能量守恒的条件下发生。然而,实际的原子光谱总是表现出一定的线宽,这意味着即使光场频率与原子共振频率略有偏离,跃迁仍然可以发生,只是概率有所降低。光谱线的展宽机制可以分为均匀展宽和非均匀展宽两大类。均匀展宽主要包括自然线宽和碰撞展宽,非均匀展宽主要包括多普勒展宽。费米黄金定则中的态密度函数实际上就是描述这种展宽效应的线型函数。
自然线宽是量子力学效应的直接体现,它与激发态的寿命通过海森堡不确定性关系联系在一起。根据能量时间不确定性关系,激发态的能量不确定度与其寿命满足ΔE * τ ≈ ħ的关系。因此,寿命越短的能级,其能量不确定度越大,对应的谱线越宽。自发辐射是决定激发态寿命的主要因素之一,因此自然线宽与自发辐射系数A_21直接相关,其半高全宽约为Δν = A_21/(2π)。自然线宽对应的线型函数是洛伦兹型,其数学形式为以共振频率为中心、以半宽度为参数的有理函数。
碰撞展宽在气体介质中尤为明显。原子之间的碰撞会打断原子的辐射过程,导致相位的随机跳变,从而使谱线展宽。碰撞展宽同样给出洛伦兹线型,其宽度与气体压强成正比。在高压气体放电管中,碰撞展宽往往超过自然线宽,成为主导的展宽机制。
多普勒展宽源于原子的热运动。由于多普勒效应,运动的原子所感受到的光场频率与静止原子不同。在热平衡条件下,原子速度服从麦克斯韦玻尔兹曼分布,因此多普勒展宽给出高斯线型,其宽度与气体温度的平方根成正比。在常温下的气体激光器中,多普勒展宽通常比均匀展宽大一个数量级以上。
在使用费米黄金定则计算实际的跃迁速率时,必须将态密度函数用适当的线型函数代替。对于均匀展宽,使用洛伦兹函数;对于非均匀展宽,使用高斯函数;当两种展宽机制同时存在时,线型函数是洛伦兹函数和高斯函数的卷积,称为佛克特函数。正确选择线型函数对于准确预测激光器的增益特性和输出功率至关重要。
激光增益的理论计算激光器的工作原理是利用受激辐射产生光放大。当光束通过具有粒子数反转的增益介质时,受激辐射占主导地位,光强在传播过程中得到增强。费米黄金定则是计算增益系数的理论基础。
设增益介质中上能级和下能级的粒子数密度分别为N_2和N_1。当一束频率为ν的光通过介质时,受激吸收使光子被吸收,受激辐射使光子数增加。单位体积内单位时间净增加的光子数等于受激辐射速率与受激吸收速率之差,再乘以相应的粒子数密度。利用费米黄金定则给出的跃迁速率表达式,并考虑到光场能量密度与光强的关系,可以导出光强沿传播方向的变化规律。
在小信号近似下,即光强足够弱使得粒子数分布不受光场显著影响时,光强满足指数增长规律,增益系数可以表示为:
g(ν) = (λ^2/(8π)) * A_21 * (N_2 - N_1) * g(ν)
这里λ是光波长,g(ν)是归一化的线型函数。从这个表达式可以看出,只有当N_2 > N_1即实现粒子数反转时,增益系数才为正,介质才能对光进行放大。这就是激光产生的基本条件。
费米黄金定则还可以用来分析激光器的阈值条件。在激光谐振腔中,光束在两个反射镜之间来回反射,每经过一次增益介质就被放大,但同时也会因为镜面的不完全反射和其他损耗而衰减。当单程增益恰好补偿单程损耗时,激光器达到阈值。阈值条件要求增益系数在线型函数峰值处的数值等于损耗系数,由此可以确定实现激光振荡所需的最小粒子数反转密度。
氦氖激光器中的费米黄金定则应用氦氖激光器是最早实现连续工作的气体激光器,也是阐释费米黄金定则应用的经典案例。一九六零年,阿里·贾万等人在贝尔实验室首次实现了氦氖激光器的运转。这种激光器的工作介质是氦气和氖气的混合物,典型的配比约为五比一到十比一。
氦氖激光器的激发机制巧妙地利用了能级的共振转移。首先,通过气体放电,电子与氦原子碰撞,将氦原子激发到亚稳态能级。氦原子的这些亚稳态寿命很长,因为从这些能级到基态的电偶极跃迁是禁戒的,即电偶极矩矩阵元为零。然后,激发态的氦原子与基态的氖原子碰撞,由于氦原子的亚稳态能级与氖原子的某些激发态能级几乎简并,能量可以高效地从氦原子转移到氖原子,将氖原子激发到上激光能级。这个过程称为共振能量转移。
氖原子的上激光能级与下激光能级之间可以发生受激辐射。利用费米黄金定则,可以计算相关跃迁的爱因斯坦系数。氦氖激光器最常用的激光波长是632.8纳米,对应氖原子3s_2到2p_4能级之间的跃迁。实验测量表明,这个跃迁的自发辐射系数A约为3.4×10^6每秒,对应的自然线宽约为500千赫兹。然而,在实际工作条件下,多普勒展宽约为1500兆赫兹,远大于自然线宽,因此增益曲线主要由多普勒展宽决定。
氦氖激光器的增益系数通常较小,典型值约为每米百分之几。这是因为相关跃迁的电偶极矩矩阵元不大,而且工作气压较低导致粒子数密度有限。尽管如此,由于采用高反射率的腔镜,激光器仍然可以在较低的阈值下工作。氦氖激光器输出的光束具有很高的空间相干性和时间相干性,广泛应用于精密测量、全息照相和光学实验教学。
半导体激光器的增益分析半导体激光器是另一类广泛应用的激光器,其增益机制同样可以用费米黄金定则来分析,但具体形式与气体激光器有所不同。在半导体中,参与跃迁的不是分立的原子能级,而是连续的能带。导带中的电子与价带中的空穴复合时发射光子,这个过程可以看作从导带到价带的辐射跃迁。
半导体的能带结构使得费米黄金定则中的态密度函数具有特殊形式。在抛物线能带近似下,导带和价带的态密度都与能量的平方根成正比。同时,由于半导体中载流子服从费米狄拉克分布,电子占据导带态的概率和空穴占据价带态的概率都由费米能级和温度决定。将这些因素综合考虑,可以计算出半导体的增益谱。
半导体激光器的一个显著特点是增益谱较宽,通常可达几十纳米。这是因为跃迁可以发生在能带中的任意两个态之间,只要动量守恒和能量守恒条件得到满足。增益谱的峰值位置取决于带隙能量和载流子浓度,峰值增益系数可以通过调节注入电流来控制。
利用费米黄金定则还可以分析半导体激光器的温度特性。随着温度升高,载流子在能带中的分布变得更加弥散,导致增益谱展宽而峰值降低。同时,带隙能量也随温度变化,使得激光波长发生漂移。这些效应对半导体激光器的性能有重要影响,在器件设计时必须加以考虑。
量子阱激光器是半导体激光器的重要改进。通过将有源区厚度减小到与电子德布罗意波长相当的尺度,量子阱结构实现了对电子运动的量子限制。这种限制效应改变了态密度函数的形式,使其在能带底部呈阶梯状而非抛物线形状。根据费米黄金定则,态密度的变化直接影响跃迁速率。量子阱结构的阶梯型态密度使得增益更加集中在特定能量附近,从而提高了增益效率、降低了阈值电流。这是量子阱激光器优于体材料激光器的物理原因。
费米黄金定则作为量子力学微扰理论的结晶,为激光物理学提供了定量分析的工具。从受激辐射的基本机制到爱因斯坦系数的量子计算,从光谱线型的物理起源到激光增益的定量表达,费米黄金定则贯穿于激光原理的诸多方面。它揭示了跃迁速率与微扰矩阵元和态密度的定量关系,使得激光器的设计和优化有了可靠的理论依据。无论是早期的气体激光器还是当代的半导体激光器,费米黄金定则都是理解其工作原理和改进其性能的必备理论工具。通过本文的讨论可以看到,一个简洁的量子力学公式如何在具体的物理问题中展现出丰富的应用价值,这也体现了基础理论研究与技术应用之间的深刻联系。
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