更新时间：作者：小小条
大家好！本文和大家分享一道2013年北京高考数学真题。这是一道导数综合题，综合考查了导数的计算、导数的几何意义、直线方程、导数与函数单调性-导数与函数最值等知识。作为一道导数解答题，本题的难度不大，学霸都说是送分题。
先看第一小问：求切线l的方程。
要求曲线在某点处的切线方程，通常就需要用到导数的几何意义。即曲线在某点处的导数值就是该点处切线的斜率。
利用导数求切线方程的一般步骤：第一步求出该点的坐标，如果已经知道该点的坐标则不需要再求了，比如本题就不需要求点的坐标；第二步求曲线方程的导数；第三步求该点的导数值；第四步用直线的点斜式方程得到切线方程。
再看第二小问：证明命题。
要证明除切点外，曲线C在直线l的下方，那么只需要证明当x＞0且x≠1时，x-1＞(lnx)/x①即可。下面介绍两种证明方法。
证法一：
不等式①的右边是分式的形式，而分式在处理过程中相对来说比较复杂，而由于函数y的定义域是x＞0，所以不等式①两边同时乘以x就可以得到x(x-1)＞lnx，这样就将分式化为整式了，移项就可以变成了x(x-1)-lnx＞0。这样处理后，我们就只需要证明函数y=x(x-1)-lnx在(0,1)和(1,+∞)上的最小值都大于零即可。
构造新函数f(x)=x(x-1)-lnx，0＜x＜1，x＞1，求导得到f'(x)=2x-1-1/x=(2x^2-x-1)/x=(2x+1)(x-1)/x。
显然，在f(x)定义域范围内，2x+1＞0，即f'(x)的正负由x-1这一项来决定。故当0＜x＜1时，x-1＜0，则f'(x)＜0，此时f(x)为减函数，而当x＞1时，x-1＞0，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数。所以有f(x)＞f(1)=0，即x(x-1)-lnx＞0恒成立，故原命题得证。
证法二：
不少同学说再证明不等式①时没有想到将分式化为整式，直接证明可以不呢？当然可以。
构造新函数f(x)=x-1-(lnx)/x，x＞0，则求导得到f'(x)=1-(1-lnx)/x^2=(x^2-1+lnx)/x^2。接下来判断f'(x)的正负。由于x^2＞0，所以f'(x)的正负由分子x^2-1+lnx决定。当x＞0时，x^2-1为增函数，lnx也为增函数，故g(x)=x^2-1+lnx为增函数。又g(1)=0，故当0＜x＜1时，f'(x)＜0，此时f(x)为减函数；当x＞1时，f'(x)＞0，此时f(x)为增函数，f(x)＞f(1)=0。从而原命题得证。
总体来说，这道题的难度不大，中等生应该是可以拿到满分的。
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