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2020高考全国卷Ⅱ(理数)真题及答案参考

一 选择题(共60分)

1 已知集合U={-2，-1,0,1,2，3}，A={-1,0}，B={1,2} ， 则Cu(A∪B)=

A. {-2,3} B{-2,2,3} C{-2,-1,0,3} D{2，-1,0,1,2，3}

解析：根据集合运算先求A∪B然后再取补集

选择 A

2 若α为第四象限角,则

A cos2α >0 B cos2α <0 C sin2α >0 B sin2α <0

解析:如果α=-80°,排除A C ,如果α=-10°,排除B

选择 D

3 在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,由于订单大幅增加,导致订单积压,为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配送工作,已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者多少名

A 10名 B 18名 C 24名 D 32名

解析：因为超过1600份的概率为0.05，那么不超过1600份的概率为0.95，只要完成当日积压及次日能配货1600份订单就行，那么次日志愿者应完成1600+500-1200=900份订单，所以需要志愿者900÷50=18

选择B

4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环石板多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则这三层共有扇面石板（不含天心块）

A 3699块 B 3474块 C 3402块 D 3339块

解析：因为每层环数相同，设每层n环，总数

S=2s2+729+s1

=2n[9+9n+(9+9n)+9(n-1)]/2+729+n[9+9+9(n-1)]/2

=n(9+27n)+729+9n(n+1)/2

=9n(3.5n+1.5)+729

2(S-729)/9=n(7n+3)

因为n是整数

A选项：3699-729=2970，2(S-729)/9=660=n(7n+3)

660=11×22×5×3无解

B选项：3474-729=2745, 2(S-729)/9=610=n(7n+3)

610=2×5×61 无解

C选项：3402-729=2673, 2(S-729)/9=594=n(7n+3)

594=2×11×33 =9×66，n=9

D选项：3339-729=2610,2(S-729)/9=580=n(7n+3)

580=5×22×29, 无解

选择C

5若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3的距离为

A 0.2√5 B 0.4√5 C 0.6√5 B 0.8√5

解析：与两坐标轴都相切的圆有4种情况，过点(2,1)可设该圆为(x-1)2+(y-1)2=1

圆心为(1,1)，那么到直线2x-y-3的距离为|2-1-3|/√5

选择B

6 数列{an}中，a1=2，am+n=aman，若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25，则k=

A 2 B 3 C 4 D 5

解析：∵am+n=aman，∴am+1=ama1=2am，{an}是等比数列

ak+1+ak+2+…+ak+10=aka1+ ak a2+ ak a3+…+ aka10= ak(a1+ a2+ a3+…+ a10)

∴

215-25=ak a1(1-210)/(1-2)=ak+1(210-1)

ak+1=25

选择C

7 右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条楞的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为

A E B F C G D H

解析：通过三视图判断形状

选择A

8 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2/a2-y2/b2=1 (a>b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若△ODE 面积为8，则C的焦距最小值为

A 4 B 8 C 16 D 32

解析：由于两条渐近线为y=±bx/a，那么交点为(a,b)和(a,-b)

△ODE 面积为ab=8

设焦距为t，那么t2=4(a2+b2)≥8ab=64

所以最小值为8

选择B

9设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)

A 是偶函数，且在(0.5,+∞)单调递增

B 是奇函数，且在(-0.5,0.5)单调递减

C 是偶函数，且在(-∞,-0.5)单调递增

D 是奇函数，且在(-∞,-0.5)单调递减

解析：

当x>0.5时，f(x)单调减，排除A，

当x<-0.5时， ，单调减，排除C

由于BD都是奇函数选项为单选题且D正确，所以

选择D

10已知△ABC是面积为2.25√3的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为

A √3 B 1.5 C 1 D 0.5√3

解析：由面积可以求出边长从而得出球小圆半径，再根据球表面积计算球的半径即可

选择C

11 若2x-2y<3-x-3-y，则

A ln(y-x+1)>0 B ln(y-x+1)<0 C ln|x-y|>0 D ln|x-y|<0

解析：若x=0，y=1，排除BCD

选择A

12 0-1周期序列在通讯技术中有着重要应用。若序列a1a2…an…，满足ai∈{0,1}(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得ai+m=ai(i=1,2,…) 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m的0-1周期序列a1a2…an…，(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1周期序列中，满足C(k)≤0.2(k=1,2,3,4)的序列是

A 11010… B 11011… C 10001… D 11001…

解析：分别计算即可

A选项

C(k)=(a1a1+k+a2a2+k+a3a3+k+ a4a4+k+ a5a5+k)/5

=0.2(a1+k+a2+k+a4+k)

C(1)=0.2(1+1)>0.2，排除

B选项

C(k)=(a1a1+k+a2a2+k+a3a3+k+ a4a4+k+ a5a5+k)/5

=0.2(a1+k+a2+k+a4+k+a5+k)

C(1)=0.2(1+1+1)>0.2，排除

C选项

C(k)=(a1a1+k+a2a2+k+a3a3+k+ a4a4+k+ a5a5+k)/5

=0.2(a1+k+a5+k)

C(1)=0.2, C(2)=0, C(3)=0, C(4)=0.2

满足题意

选择C

二 填空题(共20分)

13 已知单位向量a，b的夹角为45°，ka-b与a垂直，则k=

解析：因为垂直，所以a(ka-b)=-ab+ka2=0，-√2/2+k=0

填√2/2

14 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名学生只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_____种

解析：每个小区至少安排1名，那么总有1个小区有两名学生，有三种情况，小区1安排2名、小区2安排两名和小区3安排两名，当小区1安排两名时学生分配共有4!/2!(4-2)!=6种情况，每种情况有2个不同选择安排小区那么此类有6×2=12种情况，同理3种安排会有36种方法

填36

15 设复数z1，z2，满足|z1|=|z2|=2, z1+z2=√3+i，则|z1-z2|=

解析：设z1=2(cos x+i sin x)， z2=2(cosy+i sin y)，

cos x+cos y=√3/2，sinx+sin y=1/2

平方然后相加

1+1+2cosx cosy + 2sinxsiny=1

cos(x-y)=-0.5

|z1-z2|=|2 (cos x-cosy)- i 2 (sin x-sin y)|

|z1-z2|²=4[(cos x-cosy)²+ (sin x-sin y)²]

=4(1+1-2cos x cosy - 2sinx siny)

=8[1-cos (x –y)]

填2√3

16设有以下四个命题：

P1：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内

P2：过空间任意三点有且仅有一个平面

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

P4：若直线l在平面α内，直线m⊥平面α，则m⊥l

则下述命题中所有真命题的序号是______

1:P1∧P4 2: P1∧P2 3: －P2∨P3 4: －P3∨－P4

解析：通过分析，P1真，P2假(可能3点共线)，P3假(存在异面情况)，P4真，根据逻辑真假来判断

填134

三解答题(共70分)

17 (12分)

△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC

(1)求A

(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值

解析：

(1)由正弦定理，得

由余弦定理有

∴

∴

(2)由正弦定理

设周长为t，那么

B为30°时，周长最大为3+2√3

18 (12分)

某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,20)，其中分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这个种野生动物的数量，并计算得

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）

(2)求样本(xi,yi) (i=1,2,…，20)的相关系数（精确到0.01）

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样并说明理由。

附：相关系数 ,

解析：(3)找到好的抽样并合理的解释就行了，计算在于(1)和(2)

(1)所求为1200/20×200=12000

(2)

≈0.94

19 (12分)

已知椭圆C1：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线 交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=(4/3)|AB|

(1)求C1的离心率

(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程

解析：设c²=a²-b²，抛物线为y²=4cx

有

(2)设M点坐标为，那么

点M在C1上，所以

c=3或c=1(当c=1时，MF不足5舍去)

椭圆方程为：

抛物线方程为：

20 (12分)

如图已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面积是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M、N分别为BC、B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F

(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F

(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值

解析：(1)由三棱柱的性质知AA1∥B1B，因为BB1C1C是矩形且M、N是中点，所以AA1∥B1B∥MN。由于B1C1∥BC，三棱柱中平面ABC∥平面A1B1C1，所以B1C1∥EF，EF∥BC，由于底面是正三角，且M是中点，知AM⊥BC，因此，因为M、N是中点BB1C1C是矩形可知MN⊥BC，由于BC∥EF，所以EF⊥MN，在平面A1AMN中有EF⊥MN，AM⊥EF，MN与AM相交因此EF⊥平面A1AMN，又因为EF在平面EB1C1F中，所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F

(2)如图，连接NP，由于AO∥平面EB1C1F，AO在平面A1AMN内，所以AO∥NP，由(1)知B1C1∥EF，EF⊥平面A1AMN，所以B1C1⊥平面A1AMN，因此B1E与平面A1AMN所成角的与直线NP、B1E所成的角相等

设底面正三角形的边长为a，根据题意有

∴

设所成的角为t，那么

21 (12分)

已知函数f(x)=sin²x sin2x

(1) 讨论f(x)在区间(0,π)的单调性

(2) 证明：|f(x)|≤0.375√3

(3) 设n∈N*，证明：

解析：(1)

f(x)=2 sin²x sinx cos x=2 sin³x cos x

f’(x)=6sin²x cos² x - 2 sin4x

=6sin²x cos² x -2 sin²x(1-cos²x)

=8 sin²x cos² x -2 sin²x

=2sin²2x-1+cos2x

=2(1-cos²2x)-1+cos2x

=-2cos²2x+cos2x+1

=(2cos2x+1)(-cos2x+1)

(0,π/3)

[π/3,0.5π)

[0.5π,2π/3)

[2π/3, π)

+

-

-

+

当x∈(0,π/3)时f(x)单调增，

当x∈[π/3, 2π/3)时f(x)单调减

当x∈[2π/3,π)时f(x)单调增

(2)

f(x+π)=sin²(x+π) sin(2x+2π)

=sin²(x) sin(2x)=f(x)

所以π是f(x)的周期

当x=π/3取最大值

f(π/3)=0.75×0.5√3=0.375√3

当x=2π/3取最小值

f(2π/3)=0.75×(-0.5√3)=-0.375√3

∴ |f(x)|≤0.375√3

(3) 由(2)得

……

∴

选考题

22 [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)

已知曲线C1，C2的参数方程分别为

(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1, C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程

解析：

(1)根据x和y的关系，知x+y=4；x²-y²=4

(2)联立求解，可得P：(2.5, 1.5)

由于圆过极点和P，如下图作辅助线，根据圆与直角三角形的性质有

所以极坐标方程为

23 [选修4-5：不等式选讲] (10分)

已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|

(1) 当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集

(2) 若f(x)≥4, 求a 的取值范围

解析：

(1)当a=2时

f(x)=|x-4|+|x-3|

f(x)为数轴上到点(4,0)与(3,0)的距离之和

f(x)≥4时

x≤1.5或x≥5.5

(2)由于(a-1)²≥0

a2≥2a-1

f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|表示数轴上到点(2a-1,0)与点(a²,0)的距离之和

f(x)最小值为a²-(2a-1)

∴a²-(2a-1)≥4

(a-1)² ≥4

∴

a-1≥2或a-1≤-2

a≥3或a≤-1

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