美国留学

。 Xinqin（A.他于1939年当选为苏联科学学院的记者院士，并于1944年当选为俄罗斯教育科学学院的院士。超过150多种数学和数学历史著作已在总计上发表，并且在测量理论，数量理论，信息理论，信息理论等方面具有重要的研究成果。

这本书最初是由作者向国家莫斯科大学工程师讲授的一项课程计划。这本书在选择材料方面是独一无二的，叙述很容易理解。即使只学会了最简单的数学分析课程的人也可以很容易地阅读和理解它。在仅八个讲座中，它不仅允许您了解数学分析的一般轮廓，而且还可以理解数学分析的本质。

这本经典的教科书由著名的苏联数学家和数学教育者Xin Qin编写，具有清晰的思想和有趣的想法。它全面分类了数学分析的主要内容，涵盖了连续系统，限制，函数，系列，衍生物，积分，功能的串联扩展和微分方程等主题。

来源| 《数学分析八讲（修订版）》

作者：[su]。 辛秦

翻译：Wang Huilin Qi Minyou

本书的另一位翻译者王·惠林（Wang Huilin）再也看不到他的劳动果实。王·惠林（Wang Huilin）于1969年毕业于武汉大学数学系。 1996年，他很幸运能够返回母校作为来访的学者，并又学*了一年。不幸的是，他尚未完成进一步的研究，不幸的是由于肝病去世。

当时，我们讨论了，如果您学*一个特殊的分支机构并在学*后写一篇文章，您可能会在短期内受益，但是一段时间后，您学到的东西将逐渐消失，您的工作水平不会取得太大的进步。那么这样做的意义何在呢？

因此，我们决定找到一个共同的兴趣问题——“如何教授数学分析课程”，并在此期间仔细考虑它。他已经教了这门课程了很多年，但是我已经有很多年没有接触过。但是，当我处于第一个教学职位时，我一直在教授这门课程，所以我一直关心这个问题。

辛自1953年以来一直与我在一起。这次，我又找到了它。尽管已经40年了，但我仍然觉得它非常有价值。 Wang Huilin了解俄语，因此我们决定将其翻译在一起。这本书的出版是为了帮助当前的教学，另一方面，这也是对这位普通老师的纪念，他致力于这几十年。作为一名普通老师，我总是必须不断改善自己的工作，并逐渐形成一些观点，以使年轻学生受益。因此，我借此机会记录了我们在此期间经常谈论的一些问题。

数学分析的“主要矛盾”是什么？ “”可能是最常见的答案。数学分析是对高级数学的介绍，其起源是适应通过数学工具来描述自然和社会现象的需求。

因此，我们真正需要注意的是为什么微积分被用来解释自然和社会现象（当前关于经济现象的数学研究非常引人注目）并找到其客观定律。这绝不是通过在练*中添加一些“应用程序问题”来有效，因为这些应用问题（例如计算重心，体积，区域等）是完全编程的材料。

这是改善数学分析教学的最大困难。有必要考虑教师培训，教科书写作以及建立新的教学链接（例如建模），以及所有数学，物理学（和计算机科学）课程的教学。我不会在这里详细介绍。

至于“”，这确实是一个障碍。研究微积分可能有两种类型的学生（即数学分析）。一个仅是了解其基本内容并学*一些计算技能的必要条件，这可以解决一些相对容易的典型问题。在学*其他课程时，当您看到微积分公式时，您可能不会蒙受损失。

另一种专业数学家或未来专业的专业将使用越来越多的新数学知识。在大学中学*所有这些知识是不可能的，将来他甚至需要能够使用数学方法自己解决一些问题。随着科学的发展，后一种学生和专业只会增加。

当前的数学经济发展要求就是一个有力的例子。要谈论“”，我们认为这是后一种学生（包括学*经济学的学生）的要求。一种方法是将此课程分为基础演算和高级演算。前者适应学生的前一部分，后者适应了后者的学生。这是美国人通常的做法。但是，这两个部分重叠，因此后半部分浪费了很多能量。许多人主张这一部门，因为他们认为数学分析对于学生来说太难且难以掌握。

在我的国家，这无疑是将两部分合成在1950年代之后进行数学分析的问题，但这不是前苏联独有的“计划经济的劣势”的产物。在欧洲大陆多年来，这种情况一直是这样。从1950年代和1960年代大约20年的实践来看，在我国的大学和大学中，教师的能力，尤其是对于可以进入这类专业的高中生而言，可接受性不应该太多。

真正的问题是，一些老师对“”太要求了，这使数学分析成为某些人开玩笑的“大头积极”。在教授一年半之后，他们仍在进入基本概念。老师和学生担心学生不会理解，学生将永远学到错误。实际上，“”是一种非常简洁明了的语言，对于每个需要更多数学知识的学生来说，这是必不可少的（即上述第二种学生）。

但是，学*一种语言（这是一个过程，我不希望一年级的大学生能够学*）并不意味着成为“语言学家”。 “大头积极”的问题可能在这里。我还请王·惠林（Wang Huilin）翻译了一篇文章“苏联杂志《数学科学的成就》，在1987年第一期发表（第44页）中，《苏联杂志《数学通讯》（第44页）发表。

“”命题的“”命题是由函数的一致性定义的，有必要找出适合每个语句的函数。读者可能希望看看这是否需要大学生这样做。该材料确实在数学中很有用。我选择了其中一些与我的同学讨论，学生都认为他们受益匪浅。但这不是真正的问题：因为“”是一种语言，所以重要的是它表达的内容以及为什么必须以这种方式表达它。如果您读Xin Qin的书，这一点肯定会很有意义。

例如，我们通常会说确定的积分是总和的限制，这本书告诉我们为什么我们应该说它是上贵的下边界，即下和下限的上边界，而不是极限。实际上，这是一个非常深刻的问题。如果我们必须谈论Moore-Smith-Shatunovsky的极限理论，它将更高。摩尔（E. H. Moore）和史密斯（D. E. E. Smith）都是美国数学家，前者是后者的老师。

Shatunovsky（C。O.。）是乌克兰数学家，但不幸的是，西方人通常不认识他。现在，他们的理论通常被称为网理论，并且经常被引入点收藏的拓扑书籍。在数学分析教科书中，您可以参考修复GOLZ 《微积分学教程(第三卷)》的“附录：极端的一般观点”（高等教育出版社，2006年）。

1937年，法国数学家Henri Cartan（布尔巴克学校的**之一）将其发展为“过滤器”理论，值得注意。本书中提出的一些问题，例如，在第二课的第一部分结束时，自变量“ x的极限等于a”是否有意义；例如，在关于整体科学的讲座中，尽量避免说积分是“积分之和的限制”，这可以很好地解释。现在，还有一些数学分析教科书[例如B. A. Zorridge的《数学分析(第一卷)》（高等教育出版社，2006年）]进行了很好的介绍。

但这是普通大学生的要求。即使对于大学生，也可以选择一个点和一个系列，并将其限制定义为固定的积分（至少对于连续功能的积分不可或缺）。但是作为一名老师，有必要理解这一点。我相信，阅读本书后，许多读者会突然意识到。尤其是关于实数理论的第一次讲座非常令人兴奋。

阅读本书后，读者会觉得辛秦确实是一位了不起的老师。他的《数学分析简明教程》在1950年代末和1960年代初在我国很受欢迎。以我的拙见，比他写得更好的教科书仍然很少见。老师可以“突然意识到”自己，了解他们的学生，并且到处都有一种比例感。这样的教学肯定会成功。

近年来，有一个问题是数学课程的现代化。许多同志提倡谈论一些外部差异化，有些同志提倡增加一些样条功能，等等。我的观点是放手，而不是整体上寻求它。最初，不同的学校和不同的教师在同一课程上会有不同的教义，这在中国和国外的古代和现代都是不可避免的。

我分析了一些著名的教科书。 For example, Hardy's 《纯数学教程》 (People's Posts and Telecommunications Press, 2009), if you contact Titchmarsh (also British)'s 《函数论》, the two are very similar, while Goursat's 《分析教程》 and Courant's 《微积分和数学分析引论》 (Science Press, 2005), no one can see that the style is very different.但是，所有这些书在基本内容中都是相同的。

因此，如果老师喜欢几何或他的研究工作经常使用外部差异化，则教学学生，如果有一定程度的衡量标准，则自然是可以理解的。其他老师有自己的技巧，他们如何统一？重要的是要注意科学发展的总体趋势。目前非常清楚的是，数学距离某些物理，工程和社会科学部门，尤其是经济学和计算机科学。之前已经提到过这一点，并且不会在此处讨论。

其次，我们必须考虑是否忽略了最基本的事物中的变化。基本的事情相对稳定，因此它们是一个需要专注于教学的地方。但是，即使是最基本的事情也会改变。例如，这本书关于海恩！ - ！Borel的引理是一个问题（请参阅第13页）。 Heine！ - ！Borel的引理实际上是紧绷的定义。正如作者所说的那样，紧密度“在那个时代后期出现”。

本书中的紧密性总是使人们感到作者无法自由使用，这与其他章节有所不同，例如流动的云和流水。辛秦是20世纪的一位伟大的数学家。自1930年代以来，他为概率理论做出了巨大贡献。尽管紧密度是拓扑中的一个基本问题，但与Xin Qin专门研究的领域相去甚远。

如果数学的发展甚至使Xin Qin这样的知名人士很难自由使用它们，那么对于像我们这样的普通人来说，这甚至更为正确。因此，如果您想成为一名好老师，则必须不断地丰富自己。这只能是自然的，并尽力而为。

翻译增加了一些注释，一个是要纠正一些错误，另一个是要解释一些应该关注的问题，希望与作者撰写本书的目的保持一致。

Qi Minyou

1998年5月

《数学分析八讲（修订版）》

作者：[su]。 新秦翻译器：王Huilin Qi Minyou

在仅八个讲座中，它不仅允许您了解数学分析的一般轮廓，而且还可以理解数学分析的本质。

这本经典的教科书由著名的苏联数学家和数学教育者Xin Qin编写，具有清晰的思想和有趣的想法。它全面分类了数学分析的主要内容，涵盖了连续系统，限制，函数，系列，衍生物，积分，功能的串联扩展和微分方程等主题。

《数学分析概论（岩波定本）》

作者：[日本]萨达奥·高吉翻译：冯苏·尤因

日本数学不朽的经典，是培育一代数学家（例如Kohei和Kiyoshi Ito）的“数学圣经”

日本数学家和“现代日本数学之父” Sadao Takagi创作的分析杰作。

它是古典和现代作品的高潮，被称为日本现代数学发展的“不动”，也已成为所有日本微积分教科书和专着的参考来源。

《普林斯顿数学分析读本》

作者：[美国]拉菲特·格林伯格翻译：李Xin

慢慢阅读，慢慢写，仔细考虑！只有反复阅读定义和证明，您才能理解更广泛的概念并将其应用于您自己的证明。

数学分析是大学数学专业的第一门课程。它为学生提供了进一步研究基于证明的数学的坚实基础。涉及的数学思想和解决问题的方法将对学生的数学思维能力的培养和培训产生巨大影响。

这本书延续了《普林斯顿微积分读本》的风格，具有清晰的布置和易于理解的叙述。作者以易于理解和幽默的语气解释了两步解决方案方法：首先，如何回到解决问题的钥匙，然后如何严格和标准化解决问题的过程；同时，这本书提供了40多个实际验证的示例，并提供了20多个指导“填写空白”练*，以教学学生如何做和巩固所学的概念。