一、函数奇偶性与解析式求解

核心性质：定义在\(\mathbb{R}\)上的奇函数满足\(f(0)=0\)且\(f(x)=-f(-x)\)，这是求解不同区间解析式的关键依据。应用场景：已知\(x>0\)时的函数表达式，可通过\(f(x)=-f(-x)\)推导\(x<0\)时的解析式（如第 1 题 B 选项），需注意代入时符号的准确变换，避免因符号错误导致解析式出错。

二、导数与函数极值

极值点判定求导后令\(f'(x)=0\)，解得可能的极值点；判断极值点两侧导数的符号：若左侧\(f'(x)>0\)、右侧\(f'(x)<0\)，则该点为极大值点；若左侧\(f'(x)<0\)、右侧\(f'(x)>0\)，则为极小值点（如第 1 题 D 选项、第 2 题）。极值点与参数关系已知极值点求参数：将极值点代入导数等于 0 的方程，求解参数后需验证该点是否真为极值点（如第 2 题，代入\(x=2\)得\(f'(2)=0\)求a，再验证\(x=2\)两侧单调性）；含参函数极值存在性：对参数分类讨论，分析导数零点的个数及两侧单调性，确定是否存在极大值 / 极小值（如第 3 题 (2)，分\(m\leq0\)、\(0<m<2\)、\(m=2\)、\(m>2\)讨论，确定\(m>0\)且\(m≠2\)时存在极大值）。

三、导数与函数单调性

单调性判定：若在区间内\(f'(x)>0\)，函数单调递增；若\(f'(x)<0\)，函数单调递减（贯穿多道题目，如第 1 题 D 选项判断\(x<-1\)和\(x∈(-1,0)\)的单调性、第 3 题 (1) 判断\(s(x)=x+\ln x\)的单调性）。应用场景：结合单调性解不等式（如第 3 题 (1)，利用\(s(x)\)的单调性将\(s(x)\geq s(1)\)转化为\(x\geq1\)）、证明函数极值点 / 零点的唯一性（如第 4 题 (1)，通过导数判断\(f(x)\)先增后减，结合端点函数值证明唯一极值点和零点）。

四、导数与函数零点

零点存在性判定：利用函数单调性 + 端点函数值符号：若函数在\([a,b]\)上单调，且\(f(a)\cdot f(b)<0\)，则区间内存在唯一零点（如第 4 题 (1)，\(f(0)=0\)，\(x→+∞\)时\(f(x)<0\)，且\(f(x)\)先增后减，故存在唯一零点\(x_2\)）。零点与极值点关系：通过构造辅助函数（如第 4 题 (2) 的\(g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)\)），利用辅助函数的单调性比较极值点与零点的大小（如第 4 题 (2)(ii) 证明\(2x_1>x_2\)）。

五、导数的几何意义

切线方程：曲线\(y=f(x)\)在点\((x_0,f(x_0))\)处的切线斜率为\(f'(x_0)\)，切线方程为\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)（如第 5 题 (2) 求直线\(l_1\)的方程、第 7 题 (1) 求\(a=1\)时\(f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线方程）。切线与曲线位置关系：构造函数\(h(x)=f(x)-\)切线方程，通过判断\(h(x)\)的单调性和最值，证明曲线在切线的上方 / 下方（如第 5 题 (2)，证明\(h(x)\geq h(a)=0\)，故除切点外曲线在切线\(l_1\)上方）。垂直切线的应用：若两直线垂直，其斜率乘积为\(-1\)，可据此求另一条切线方程，进而求解切线与坐标轴交点的横坐标（如第 5 题 (3)，由\(l_1\)与\(l_2\)垂直得\(l_2\)的斜率，再求\(x_1\)、\(x_2\)）。

六、含参函数零点问题

分离参数法：将含参函数\(f(x)=0\)转化为\(a=g(x)\)的形式，通过分析\(g(x)\)的单调性、极值、极限值，确定a的取值范围（如第 7 题 (2)(i)，令\(a=\frac{(\ln x)^2}{x}\)，分析\(g(x)=\frac{(\ln x)^2}{x}\)的单调性和极值，得\(0<a<\frac{4}{e^2}\)时\(f(x)\)有 3 个零点）。零点关系证明：通过换元（如第 7 题 (2)(ii) 令\(\ln x_1=t_1\)、\(\ln x_2=t_2\)、\(\ln x_3=t_3\)），结合对数均值不等式、构造函数求最值，证明零点相关的不等式（如证明\((\ln x_2-\ln x_1)\cdot\ln x_3<\frac{4e}{e-1}\)）。

七、导数与三角函数性质

三角函数求导：\((\cos x)'=-\sin x\)，\((\sin x)'=\cos x\)，结合三角恒等变换（如\(\cos 5x\)的展开式）简化函数表达式（如第 6 题 (1) 将\(f(x)=5\cos x-\cos 5x\)转化为\(20\cos^3 x-16\cos^5 x\)）。三角函数最值：通过求导找到导数零点，分析区间内的单调性，确定最大值 / 最小值（如第 6 题 (1)，令\(f'(x)=10\cos 3x\sin 2x\)，判断\(x∈[0,\frac{\pi}{4}]\)内的单调性，得最大值为\(3\sqrt{3}\)）。三角函数不等式证明：利用余弦函数的周期性、单调性及反证法，证明存在性问题（如第 6 题 (2)，反证 “任意\(y∈[a-\theta,a+\theta]\)都有\(\cos y>\cos \theta\)” 不成立，故存在y满足\(\cos y\leq\cos \theta\)）。

八、辅助函数构造

构造目的：通过构造辅助函数，将复杂问题转化为函数单调性、最值的问题，常见构造方向包括：比较函数值大小：如第 4 题 (2)(i) 构造\(g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)\)，通过\(g'(t)<0\)证明其单调递减；证明不等式：如第 5 题 (2) 构造\(h(x)=f(x)-\)切线方程，通过\(h(x)\)的最值证明曲线与切线的位置关系。构造技巧：结合题目已知条件（如极值点、零点、切线方程），将待证结论或需分析的关系融入辅助函数，确保辅助函数的单调性或最值可通过导数分析。

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