更新时间：作者：小小条
排列组合是高考数学的 “高频提分区”（全国卷常考 5-12 分，多以选择、填空形式出现，偶尔结合概率综合考查），也是很多考生的 “失分重灾区”—— 题型灵活、易混淆、逻辑绕，往往 “一看就会，一做就错”。其实，排列组合的核心是 “模型化解题”，掌握 13 种核心套路，就能快速匹配题型、精准破题，轻松拿下这部分分数！
这 4 种套路是排列组合的 “万能基础”，覆盖 60% 的基础题，核心在于 “辨清元素是否相同、是否有序”。
套路 1：相邻问题 —— 捆绑法（先捆后排）适用场景：要求若干元素必须相邻（如 “3 人排一排，甲、乙必须相邻”）。解题步骤：① 将相邻元素 “捆绑” 为一个整体（视为 1 个元素）；② 对整体与其他元素进行全排列；③ 解开捆绑，对内部元素进行全排列；④ 总排列数 = 整体排列数 × 内部排列数。高考真题示例：（2023 全国乙卷）6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，共有______种不同的排法。解析：① 捆甲、乙为 1 个整体，共 5 个元素，排列数 A₅⁵；② 甲、乙内部排列 A₂²；③ 总排法 = A₅⁵×A₂²=120×2=240 种。
解析：① 先排其余 3 人，A₃³=6；② 形成 4 个空隙，选 2 个插甲、乙，A₄²=12；③ 总排法 = 6×12=72 种。
套路 3：元素相同 —— 隔板法（分配问题专用）适用场景：n 个相同元素分给 m 个不同对象（每人至少 1 个），如 “10 个相同苹果分给 3 人，每人至少 1 个”。解题公式：Cₙ₋₁ᵐ⁻¹（n 为元素个数，m 为对象个数）。拓展：若允许有对象分 0 个，先补 m 个元素（每人先分 1 个），转化为 “n+m 个元素分给 m 人，每人至少 1 个”，公式为 Cₙ₊ₘ₋₁ᵐ⁻¹。高考真题示例：（2022 全国甲卷）将 5 名志愿者分配到 3 个不同的展馆参加服务，每个展馆至少分配 1 名志愿者，不同的分配方案共有______种。解析：先分组（2,2,1）或（3,1,1），再分配。① 分组：C₅²C₃²C₁¹/A₂² + C₅³C₂¹C₁¹/A₂²=15+10=25；② 分配到 3 个展馆：A₃³=6；③ 总方案 = 25×6=150 种（本质是 “隔板法 + 分组排列”）。
套路 4：元素不同 + 有序 —— 直接排列法（Aₙₘ）适用场景：从 n 个不同元素中选 m 个，按一定顺序排列（如 “从 8 人中选 3 人排成一排”）。核心公式：Aₙₘ = n!/(n-m)!（n≥m）。易错点：区分 “选排” 与 “组合”—— 有序用 A，无序用 C。这 6 种套路是高考的 “核心考点”，覆盖 30% 的中档题，需灵活结合基础套路应用。
套路 5：定序问题 —— 除法消序法适用场景：n 个元素排列，其中 k 个元素顺序固定（如 “6 人排一排，甲、乙、丙顺序不变”）。解题公式：Aₙⁿ / Aₖₖ（总排列数除以固定元素的排列数，消去重复）。示例：7 人排一排，甲在乙左边、乙在丙左边（顺序固定），共有______种排法。解析：总排列 A₇⁷，甲、乙、丙固定顺序的排法占 1/A₃³，故答案 = 5040/6=840 种。
套路 6：分组分配问题 —— 先分后排（辨清均匀 / 非均匀）适用场景：n 个不同元素分给 m 个不同对象（含均匀分组、非均匀分组）。解题原则：① 非均匀分组（每组元素个数不同）：直接分组，再分配；② 均匀分组（部分组元素个数相同）：分组后除以 “均匀组数的全排列”，避免重复，再分配。示例：将 6 本不同的书分给 3 人，① 每人 2 本（均匀）：C₆²C₄²C₂²/A₃³ × A₃³ = C₆²C₄²C₂²=90 种；② 每人 1,2,3 本（非均匀）：C₆¹C₅²C₃³ × A₃³=360 种。套路 7：至多 / 至少问题 —— 间接法（正难则反）适用场景：直接计算复杂（如 “从 5 男 3 女中选 4 人，至少 1 女”），优先用总情况减对立情况。解题步骤：① 计算无限制条件的总情况数；② 计算对立事件的情况数；③ 目标情况数 = 总情况数 - 对立情况数。高考真题示例：（2021 全国乙卷）从 6 名志愿者中选 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有______种。解析：① 总选派 A₆⁴=360；② 甲 / 乙从事翻译的情况：A₂¹A₅³=120；③ 目标方案 = 360-120=240 种（也可直接法：翻译从 4 人中选，其余 3 项从 5 人中选：A₄¹A₅³=240）。
套路 8：特殊元素 / 位置 —— 优先法（先特殊后一般）适用场景：有特殊元素（如 “必须选甲”）或特殊位置（如 “首位不能为 0”）。解题步骤：① 优先处理特殊元素 / 位置；② 再处理剩余普通元素 / 位置。示例：用 0-9 这 10 个数字组成无重复数字的三位数，共有______种。解析：① 特殊位置（百位）：不能为 0，有 9 种选择；② 十位：从剩余 9 个数字选，9 种；③ 个位：从剩余 8 个数字选，8 种；④ 总数 = 9×9×8=648 种。
套路 9：多限制条件 —— 分类讨论法（不重不漏）适用场景：多个限制条件交叉（如 “选 4 人，含甲不含乙，至少 2 男”），按核心条件分类。解题关键：确定分类标准（如按 “含特殊元素的个数”“性别比例” 分类），确保每类独立无重复。示例：从 3 男 4 女中选 4 人，要求含甲（男）不含乙（女），至少 2 男，共有______种。解析：① 甲必选，剩余 3 人从 2 男 3 女（不含乙）中选；② 分类：2 男 1 女（甲 + 1 男 + 1 女）：C₂¹C₃¹=6；3 男 0 女（甲 + 2 男）：C₂²=1；③ 总数 = 6+1=7 种。
套路 10：相同元素 + 不同位置 —— 染色问题（分步计数）适用场景：n 个不同区域染色，用 m 种颜色（相邻区域颜色不同），如 “3 个相邻区域用 2 种颜色染色”。解题步骤：按区域顺序分步，每个区域选颜色（不与前一个相同），分步相乘。拓展：环形染色（n 个区域环形排列）：(m-1)ⁿ + (-1)ⁿ(m-1)（递推公式）。示例：用 3 种颜色给 4 个相邻的区域染色（相邻不同色），共有______种。解析：① 区域 1：3 种；② 区域 2：2 种（≠区域 1）；③ 区域 3：2 种（≠区域 2）；④ 区域 4：2 种（≠区域 3）；⑤ 总数 = 3×2×2×2=24 种。
这 3 种套路针对高考压轴题，需结合多个基础套路，重点考查逻辑推理能力。
套路 11：排列组合 + 概率 —— 先算组合再求概率适用场景：概率题中涉及 “选元素”（如 “从 5 红 3 白中选 2 球，求恰有 1 红 1 白的概率”）。解题步骤：① 计算总的基本事件数（组合数）；② 计算目标事件的基本事件数（组合数）；③ 概率 = 目标事件数 / 总事件数。高考真题示例：（2024 全国甲卷）从一批产品中随机抽取 3 件进行检验，记 “3 件都是合格品” 为事件 A，“3 件中恰有 1 件不合格品” 为事件 B，已知 P (A)=0.76，P (B)=0.23，则这 3 件产品中至少有 1 件不合格品的概率为______。解析：至少 1 件不合格 = 总概率 - 全合格 = 1 - P (A)=1 - 0.76=0.24（本质是 “间接法” 在概率中的应用）。
套路 12：可重复排列 —— 乘法原理（元素可复用）适用场景：n 个不同元素中选 m 个，元素可重复使用（如 “电话号码、密码、车牌”）。解题公式：nᵐ（每个位置有 n 种选择，共 m 个位置）。示例：某密码由 4 位数字组成（0-9），可重复，共有______种可能。解析：4 个位置，每个位置 10 种选择，总数 = 10⁴=10000 种。
套路 13：错位排列（禁位排列）—— 公式法（记住固定值）适用场景：n 个元素排列，每个元素都不能在原来的位置（如 “3 封信装 3 个信封，都装错”）。核心公式：Dₙ = (n-1)(Dₙ₋₁ + Dₙ₋₂)（递推公式）；固定值（高考高频）：D₁=0，D₂=1，D₃=2，D₄=9，D₅=44。示例：将 5 名员工分配到 5 个岗位，每人不能回到原岗位，共有______种分配方案。解析：直接用固定值 D₅=44 种。
排列组合看似复杂，实则 “套路固定、逻辑清晰”。掌握这 13 种核心套路，针对性刷近 5 年高考真题（优先全国卷、新高考卷），就能从 “无从下手” 到 “秒出答案”，轻松拿下这部分关键分数！如果需要某类套路的详细真题解析、专项训练题，或想了解排列组合与概率的综合解题技巧，欢迎随时告诉我，帮你进一步精准提分～
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