更新时间：作者：小小条
2025年1月3日进行了八省联考，这次考试我也我们带来了很多信息：首先，2025年新高考数学试卷结构和2024年保持一致，标准的8+3+3+5结构；其次，巴八省联考针对的是第五批新高考改革的省份，由于第一次采用新高考试卷，所以在难度设置上较为保守，这套试卷的整体难度也比较低，但是这套试卷也有几道题目值得我们深入研究。
本题是2025届八省联考的压轴题，与大部分模考题不同的是，八省联考没有考察比较难的新定义题型，而是以一道立体几何大题作为压轴题，从压轴题的层面来看，这道题目的难度只能说是中等，甚至在有些模考试卷中，这道题应该放到多选题最后一个考察。本题对于立体几何外接球模型的空间思维和作图考察比较到位，同时考察借助空间直角坐标系和空间向量分析立体几何的最值问题，用来对标高考立体几何大题非常合适，所以这道题目值得高三学生仔细研究，高考数学中立体几何的分数务必要拿下。
本期分享的2025届八省联考立体几何压轴题难度中等偏上，是标准的高考风格的立体几何题目，立体几何定理和空间直角坐标系均有涉及，这道题目的背景是通过折叠将平面四边形变为三棱锥，掌握三棱锥的形成过程以及动点P的轨迹是这道题目的核心。
第一问（i）基于线面垂直和面面垂直的判定定理很容易证明；（ii）在掌握三棱锥形成的原理上分析是更方便的，外接球的球心可以通过过两个面的外心的垂线的交点来确定，作出三棱锥外接球示意图，结合平面辅助法和勾股定理求出球心到底面外接圆圆心的距离，进而得到外接球半径。
第二问是动点最值问题，通过建立空间直角坐标系，P点的轨迹为圆，设出P的坐标，分别求出平面PAC和平面PBC的法向量，求出二面角的余弦值，转化为闭区间上函数最值问题的分析，通过多次换元简化函数性质，最终分析对应二次函数的最值，得出二面角余弦值的最小值以及取得最小值时P的位置。第二问在求解函数最值的时候，函数性质略显复杂，需要在换元法的基础上进一步化简，才能较为方便地求出最小值，这里对于函数基本功要求较高，略有难度。
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