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莱西市第一中学 王雪

新课标中指出，数学学科核心素养是课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。高中数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析共六个方面。而现在应用的2019年人教A版正是一套以核心素养为导向的高中数学新教材。本文主要从编写理念、教材结构、教材内容、教学建议等四个方面进行阐述。

一、编写理念

在旧版教材中，主要是培养学生数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。旧教材的编写仅仅强调了以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质。没有强调这个过程中学生思维的转变。

而在新教材中，既重视几何图形的代数式表达，也关注代数表达式的几何直观。课程内容上更注重于用数学思想解决简单的数学问题和实际问题，更强调数学思维的培养。新教材指出了解析几何的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素--点和代数的基本对象--数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图像的性质。所以新教材的编写理念更强调思维发展的循序渐进，强调学生数学抽象和逻辑推理的能力。通过思考，内化到自己的知识体系，并应用到实际，从而提高学生能够从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

二、教材结构

从解析几何的整体结构设置上看，旧教材在必修二中仅学*了解析几何中的“直线与圆”，主要目标在于坐标法的学*和应用以及初步感受了解决解析几何问题的三步曲，在本章最后还加上了空间直角坐标系，进一步强调了坐标法除了与平面几何中的综合法、向量法建立联系，还可以推广到空间，解决立体几何问题。

而在新教材中，知识联系更加紧密，逻辑性更强，并将有关坐标系以及解析几何相关内容融合在一起，决定了这一册的难点和重点为计算，难度有所上升。在新教材中圆锥曲线的内容安排更强掉综合性和多样性--坐标系的多样性、曲线方程的多样性、联系方式的综合性。

在“直线与圆的位置关系”这一节，旧教材给出了一个直线与圆的位置关系的应用题，提出了研究直线与圆的位置关系的必要性。教材直接给出了建系，写出了坐标和直线方程，通过代数法解决了这一问题。教材又提出了“如果不建立直角坐标系，你能解决这个问题吗？”。这种安排会*地限制了学生的思维发展，只会让学生知道建系，而不知道为何建系。

在新教材中，通过回顾初中学*直线与圆三种位置关系的划分标准--直线与圆公共点的个数，这种位置关系的判定是定性的描述，如何进行定量刻画，提出本节研究的问题：“利用直线和圆的方程，通过定量计算判断直线与圆的位置关系”，意在让学生体会这种研究思路的逻辑必然，自己能提出研究问题。

三、教材内容

新旧教材都是在给出了初中所学的直线与圆的位置关系后，提出了“思考”--“在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何让利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？”通过这个“思考”的设置，引出了本节的研究方向：定性描述--几何角度；定量描述--方程角度。新教材更注重于将数学文化融入课程内容。

旧教材例1 “如图4.2-2，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求他们的交点坐标。”

新教材例1“已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长。”

这两个例题的设置都是为了让学生体验如何判断直线与圆的位置关系，教科书给出了两种方法：一种是依据“直线与圆的方程组成的方程组有无实数解”，这是最直接的判断，是完全的代数法，也是坐标法的重要体现；一中是利用直线与圆的方程，求得圆心到直线的距离，然后比较这个距离和半径的大小判断位置关系，充分利用了图形的几何性质。

不同之处在于，旧教材的例1强调数形结合，给出题目条件的图形，将几何问题与数学问题结合得更贴切、直观。旧版例1是要求求出交点坐标，目的在于让学生进一步认识方程组解的意义--求曲线的交点坐标既是求两条曲线的公共点坐标。新教材中强调让学生比较、归纳、总结，在例1之后提出了“思考--与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？”。新教材中例1 是要求求弦长，这个问题既包含了求交点坐标这一知识点，又可以引导学生“适当地利用已知图形的几何性质，有助于简化计算”。学生通过方法二中圆心到直线的距离构造直角三角形，便可直接得出弦长。所以在新教材的例题设置上更体现出了数学抽象、逻辑推理的核心素养。

这两个例题的设置都是在给出定点的直线下，研究直线与圆的位置关系，在这里都需要先设出直线方程，再利用了几何性质简化运算。

这两个例题的不同之处在于，旧版教材在例2的解答中利用了圆的几何性质结合代数运算进行的，这个例题的设置就是为了让学生感受到适当地利用几何性质可以简化运算，从而强调图形在解题中辅助作用，加强了形与数的结合。但是新版教材在例1 就设置了这个目的，例2的设置是为了更好地体验下这种技巧。除此之外，新版教材重点关注相切这一特殊关系，是因为很多优化问题可以转化为相切问题，如最短距离、最大角等。切线也即直线与圆只有一个交点，将问题转化到方程组只有一解，可以单纯的用代数法使Δ=0即可解决题目，教材也给出了第二种解法，利用几何性质进行解答。新教材对例1到例2的设置还有另外一种意图，直线与圆相切是直线与圆特殊而又重要的位置关系，学生已有的经验是用直线与圆只有一个公共点来刻画直线与圆相切，这种用公共点的个数刻画相切关系在直线与圆的关系中没有问题，但是对研究直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线中切线问题就具有一定的局限性，所以本例题的设置还想让学生体验到切线与割线的关系---切线是割线的极限，为后边学*圆锥曲线与直线的位置关系奠定了基础。

旧版教材在直线与圆的位置关系之后单独设置了直线与圆的方程的应用这一课时。新教材是在一节内容里继续研究直线与圆的位置关系的应用。

旧版例4(新版例3)“如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图。圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）”

这个例题是完全一样的，设置目标都是为了强化用坐标法研究几何问题的基本思想及解题过程。教科书在解答中略有不同。旧教材中“建立图示直角坐标系，使圆心在y轴上。”，新教材中“建立图示直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上。”对于坐标系的建设说明更严谨，对学生规范性提出了更高的要求。新教材这一例题下提出了学生很容易进入的误区“点O是圆拱所在圆的圆心吗？”这一问题的指出让很多学生找到了思维上的漏洞。

旧教材例5“已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。”

这一例题是典型的用坐标法证明平面几何问题的题。而且也指出了建立直角坐标系时应该注意选择图形中互相垂直的两条直线作为x轴与y轴，并尽可能的使得所涉及的点位于坐标轴上，这样在将线段长度关系转变成坐标之间的运算时更容易。通过这个例题的设置最后总结出了坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

这个例题是有一定的难度的，新版教材中舍去了这一例题，而是通过“触礁”问题分析了坐标法的应用。

新版教材例4“一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？”

例4说明了研究直线与圆的位置关系的实际意义。让学生再一次体验并巩固用坐标法解决实际问题的思想与完整过程。教材也提出了“你还能用其他方法解决上述问题吗？”可以让学生体验综合法和坐标法的不同及各自的优缺点。在此基础上也让学生总结归纳出了用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”。

在课后题的设置上更偏向于文化背景下解决问题。目的在于培养学生的数学抽象、逻辑思维等能力。

四、教学建议

旧版的教材偏向于学生的知识构建，目的侧重于掌握知识，应用知识。而新教材是在以核心素养为导向，首先培养学生的逻辑推理、抽象归纳、分析概括等能力的基础上，让学生自己内化知识，并能应用于各种情景之下。所以我们在教学中要不断的让学生去发现问题，解决问题，分析问题，解决问题，归纳方法，学*知识的同时，发展各方面的能力。

以上就是我对《直线与圆》这一部分新旧教材的对比分析。新教材的改编也顺应了党的十九大报告的要求“全面贯彻当的教育方针，落实立德树人的根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。”

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