更新时间：作者：小小条
一、基础概念框架
1. 随机现象与随机试验
· 随机现象：在一定条件下并不总是出现相同结果的现象
· 随机试验：满足三个条件的试验
· 可在相同条件下重复进行
· 所有可能结果明确可知
· 每次试验前无法预知确切结果
2. 样本空间与事件
· 样本空间(Ω)：随机试验所有可能结果的集合
· 样本点(ω)：样本空间中的单个元素
· 事件：样本空间的子集
· 基本事件：只含一个样本点的事件
· 必然事件：每次试验都发生的事件(Ω)
· 不可能事件(∅)：永远不发生的事件
二、概率定义体系
1. 概率的三大定义
2. 柯尔莫哥洛夫公理体系
· 非负性：P(A) ≥ 0
· 规范性：P(Ω) = 1
· 可列可加性：互斥事件并的概率等于概率之和
三、核心关系与公式
1. 条件概率与独立性
· 条件概率：P(A|B) = P(AB)/P(B) (P(B)>0)
· 乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)
· 独立性：P(AB) = P(A)P(B)
2. 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式：P(A) = ΣP(Bi)P(A|Bi)
贝叶斯公式：P(Bi|A) = P(Bi)P(A|Bi) / ΣP(Bj)P(A|Bj)
四、随机变量体系
1. 随机变量分类
2. 分布函数
· 定义：F(x) = P(X ≤ x)
· 性质：
· 单调不减
· 右连续
· lim(x→-∞)F(x)=0,
lim(x→∞)F(x)=1
五、数字特征
1. 期望(均值)
· 离散型：E(X) = Σxᵢpᵢ
· 连续型：E(X) = ∫xf(x)dx
· 性质：E(aX+b) = aE(X)+b
2. 方差
· 定义：D(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²)-[E(X)]²
· 性质：D(aX+b) = a²D(X)
3. 协方差与相关系数
· 协方差：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
· 相关系数：ρ = Cov(X,Y)/√[D(X)D(Y)]
六、重要分布族
1. 离散分布
分布 /PMF /期望 /方差/ 应用
二项分布： C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ np np(1-p) n次独立试验成功次数
泊松分布： λᵏe⁻λ/k! λ λ 稀有事件发生次数
几何分布： (1-p)ᵏ⁻¹p 1/p (1-p)/p² 首次成功所需试验次数
2. 连续分布
分布 /PDF/ 期望/ 方差 /应用
正态分布 ：(1/σ√2π)e⁻⁽ˣ⁻μ⁾²/²σ² μ σ² 自然社会现象
均匀分布： 1/(b-a) (a≤x≤b) (a+b)/2 (b-a)²/12 等可能取值
指数分布： λe⁻λˣ (x≥0) 1/λ 1/λ² 寿命、等待时间
七、极限定理
1. 大数定律
· 弱大数定律：样本均值依概率收敛于总体均值
· 意义：频率稳定性、测量平均值可靠性
2. 中心极限定理
· 内容：独立同分布随机变量和的标准化形式依分布收敛于标准正态分布
· 意义：正态分布的普适性、统计推断理论基础
八、思维框架总结
核心价值
概率论提供了量化不确定性的数学语言，建立了从随机性中寻找规律的科学方法，是现代统计学、数据科学、人工智能等领域的重要理论基础。理解这些基本概念是掌握更高级统计方法和机器学*算法的重要前提。
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