更新时间：作者：小小条
对于高次整式方程的求解，中学生是很欠功夫的。而在有些问题的求解过程中，这又是不可或缺的一步。让我们先例题。
已知函数 ，求其单调区间。
1. 确定定义域
。
1. 求导函数
根据求导公式 ，得：
1. 通分化简导函数
为分析导数符号，通分后整理为分式形式（分母 x>0，符号由分子决定）：
令，
1. 解高次方程 （整系数三次方程）
此处需解整系数三次方程，核心方法为有理根定理：
· 有理根可能为（首项系数2的因数除常数项-2的因数）。
· 试根：当 x=2时，故 是根。
· 因式分解：用多项式除法或配方法，将 分解为。
· 分析二次因式：的判别式 ，无实根。
1. 分析导数符号，确定单调区间
2.
3. 当 单调递增。
结论： 的单调递减区间为 (0,2)，单调递增区间为。
已知函数 ，求经过点 P(4, 5) 且与函数图像相切的切线方程。
1. 明确切线方程的基本形式
设切点坐标为。根据导数的几何意义，切线的斜率 k 等于函数在切点处的导数值，先求导函数：
因此，切线斜率。由点斜式可得切线方程为：
1. 利用外点条件建立方程
因为点 P(4, 5) 在切线上，将其代入切线方程：
1. 化简方程得到高次方程
展开并整理等式两边：
左边：
右边：
将所有项移至左边，合并同类项：
整理得：
令 ，即需求解高次方程 （整系数三次方程）。
1. 用有理根定理求解高次方程
根据有理根定理，方程 的可能有理根为 （首项系数2的因数除常数项-3的因数）。
试根验证：
·
·；
1. 高考核心考点的“隐形桥梁”
高次方程（主要是三次、四次）在高考中不直接以解答题形式考查解方程，但作为导数应用的关键步骤，贯穿于函数单调性、极值、最值、不等式证明等核心考点中。如本题，求单调区间的核心是解三次方程，若无法突破高次方程，后续分析将无法进行。
1. 考查数学核心素养的重要载体
高考对高次方程的考查，重点不是计算技巧，而是代数变形能力、逻辑推理能力、分类讨论思想，符合高考“数学抽象、数学运算、逻辑推理”的核心素养要求。
1. 区分度的重要体现
在导数综合题中，高次方程的求解是学生的“分水岭”。能否熟练运用有理根定理、因式分解等方法降次，直接决定学生能否解决后续问题，是高考选拔优秀学生的重要依据。
1. 连接导数与函数性质的“关键纽带”
导数的本质是研究函数的变化率，而导数的符号由其分子（高次多项式）的零点决定。高次方程的解法是“由导数符号推函数性质”的必经之路，是导数应用的核心工具。
1. 培养学生“降次化归”思想的重要途径
高次方程的核心解法是“降次”，即将三次方程转化为二次方程，二次方程转化为一次方程，这是数学中“化归与转化”思想的典型应用。高考通过此类问题，引导学生掌握“复杂问题简单化”的思维方法。
1. 衔接高中与大学数学的“过渡内容”
三次、四次方程的解法是大学数学分析、高等代数的基础。高考中对高次方程的考查，既是对高中知识的综合应用，也是对大学数学学*能力的提前考查。
整系数高次方程的一般形式为
，高考中以为主，常用解法如下：
若整系数高次方程有有理根，则 是常数项的因数， 是首项系数 的因数。
· 列出常数项 的所有因数 ；
· 列出首项系数的所有因数 ；
· 生成所有可能的有理根；
· 代入方程试根，找到有理根后，用多项式除法或配方法因式分解，降次求解。
如本题中，，可能的有理根为
。
· 三次方程：找到一个有理根后，分解为 ；
· 四次方程（双二次方程）：形如 ，转化为二次方程。
双二次方程
。
高次方程无有理根时，无法因式分解，需结合函数图像分析零点个数或范围。
· 构造函数
· 求的导数，分析其单调性、极值；
· 结合极值符号，确定零点个数或范围。
方程，无有理根，
，结合极值符号
，可知方程有三个实根。
方法 | 适用场景 | 核心步骤 | 易错点 |
有理根定理 | 整系数高次方程（有有理根） | 找因数→试根→因式分解 | 漏查正负因数、未验证根的有效性 |
因式分解法 | 三次、双二次四次方程 | 降次转化为低次方程 | 双二次方程忘记验根（如无实根） |
函数图像法 | 无有理根的高次方程 | 构造函数→分析单调性→确定零点 | 极值计算错误、图像趋势判断错误 |
配方法 | 缺二次项的三次方程 | 配方降次 | 配方时符号错误 |
1. 重点掌握有理根定理
高考中整系数高次方程大多有有理根，熟练掌握有理根定理的应用步骤，能快速找到根并因式分解。
1. 强化“降次化归”思想
高次方程的核心是“降次”，无论用哪种方法，最终都要转化为一次或二次方程求解。
1. 结合导数综合训练
高次方程的解法通常与导数结合考查，建议多做导数综合题，熟练掌握“求导→化简→解高次方程→分析符号→确定函数性质”的解题流程。
1. 记忆口诀辅助解题
2. 有理根定理：首项尾项找因数，正负都要考虑到，试根成功因式分，高次降次逐步解；
3. 双二次方程：换元降次变二次，解完验根不能忘；
4. 无有理根方程：构造函数画图像，单调极值定零点。
高次方程解法在高考中虽不直接考查，但作为导数应用的关键步骤，其地位至关重要。整系数高次方程的解法以有理根定理为核心，结合因式分解、函数图像法等，能有效解决高考中的相关问题。在备考中，学生应重点掌握有理根定理的应用，强化降次化归思想，结合导数综合训练，提高解题能力。
已知函数，试求函数 的所有极值点，并判断各极值点对应的是极大值还是极小值。
· 解题过程需规范书写定义域、求导、化简导函数等关键步骤；
· 遇到高次方程时，需运用有理根定理、因式分解等方法降次求解；
研究极值需明确判断导数符号变化，证明不等关系需合理构造函数并分析其单调性与最值。
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